Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 10, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 10, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démontrer les égalités, Donner la loi de probabilité de T, préciser les positions relatives.
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Metropole S sept 1996.dvi

[ Baccalauréat C Métropole septembre 1996 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans le plan orienté, on considère un carré ABCDde centre I, tel que (

−−→

AB , −−→

AD )

=

π

2 .

Étant donné un point M du segment [BD], distinct de B et distinct de D, on appelle N ,PetQ les projetés orthogonaux de M respectivement sur les droites (AB), (AD) et (DC).

1. On considère les isométries suivantes : r est la rotation de centre I et d’angle

π

2 , r ′ la rotation de centre D et d’angle −

π

2 et t la translation de vecteur

−−→

AD .

a. Déterminer les points (r ′ ◦ t)(A) et (r ′ ◦ t)(B).

Préciser la nature de l’application r ′ ◦ t . En déduire que r ′ ◦ t = r .

b. Déterminer t(N). Démontrer que r (N) = P.

En déduire que :

−−→

NA · −−→

NB = −−→

PA · −−→

PD .

c. Démontrer les égalités :

−−→

NA . −−→

MC = −−→

NA . −−→

NB et −−→

PA . −−→

MC = −−→

PA . −−→

PD .

En déduire que les droites (MC) et (NP) sont orthogonales.

2. Soit M ′ le symétrique du point M par rapport à la droite (NP).

Montrer que les points N ,P et M ′ appartiennent au cercle de diamètre [AM] et que les points M , C et M ′ sont alignés.

En déduire que le point M ′ appartient au cercle circonscrit au carré ABCD.

EXERCICE 2 4 POINTS

Un livreur de pizzas doit servir un client qui se trouve à 6 km et qui exige d’être servi à 20 h 00 précisément. Pour se déplacer, il utilise un scooter qui roule constamment à 36 km/h. ( on néglige les phases d’accélération et de décélération ). Sur son trajet, il va rencontrer deux tricolores non synchronisés et indépendants. S’il arrive à un feu orange, il s’arrête 60 secondes et repart. S’il arrive à un feu rouge, il s’arrête 3 0secondes et repart. Pour chaque feu :

– la probabilité d’être vert à l’arrivée du livreur est 12 .

– la probabilité d’être orange à l’arrivée du livreur est 14 . Soit T la variable aléatoire « temps en minutes mis par le livreur pour arriver à des- tination ».

1. a. Calculer, en justifiant le calcul, la probabilité p(T = 11).

b. Donner la loi de probabilité de T .

2. Calculer l’espérance mathématique de T .

3. Représenter la fonction de répartition de T .

4. Le livreur part à 19 h 49.

a. Quelle est la probabilité pour le livreur d’arriver en retard ?

b. Quelle est la probabilité pour le livreur d’arriver en avance ?

Le baccalauréat de 1997 A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 4 POINTS

1. Soient M, N, O, P, quatre points du plan. Montrer que MNOP est un parallélo- gramme si et seulement si le point P est barycentre des points pondérés

(M, 1), (N, −11), (O, 1)

2. Soient ABCD et A′B′C′D′ deux parallélogrammes dans le plan. On note I, J, K, L les milieux respectifs des segments [AA′], [BB′], [CC′], [DD′].

Montrer que L est le barycentre des points I, J, K affectés de coefficients que l’on ?déterminera.

Que peut-on en déduire pour le quadrilatère IJKL ?

3. Montrer que les centresΩ1,Ω2,Ω3 des parallélogrammes ABCD, A′B′C′D′ sont alignés et préciser les positions relatives deΩ1, Ω2 etΩ3.

Métropole 2 septembre 1996

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