Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 12, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 12, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L’application f associe à tout point M d’affixe z de P, le plan rapporté à un repère orthonormal, le tableau de var...
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[ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie \ novembre 1996

EXERCICE 1 4 points

On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

1. Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 noirs. On tire successivement les 7 jetons sans remise.

X est la variable aléatoire qui prend pour valeur k si le premier jeton blanc apparaît au k-ième tirage.

Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérancemathématique.

2. Une autre urne U′ contient 17 jetons blancs et 18 noirs.

On jette un dé cubique dont chaque face à la même probabilité d’appa- raître. Si le 6 apparaît, on tire un jeton de l’urne U, sinon on tire un jeton de l’urne U′.

a. Démontrer que la probabilité de tirer un jeton blanc est égale à 0,5.

b. On a tiré un jeton blanc, calculer la probabilité pour qu’il provienne de U.

EXERCICE 2 6 points Enseignement obligatoire

Leplan complexeP est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité

graphique : 2 cm). On désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et 4. L’application f associe à tout point M d’affixe z de P , distinct de A, le point M

d’affixe Z définie par :

Z = z−4 z−1

.

1. Soit C le point d’affixe i p 2.

Déterminer l’affixe de C′ = f (C).

2. Démontrer que f admet deux points invariants I et J. (On notera I celui d’ordonnée positive.)

Placer les points I, J, C et C′.

3. On pose z = x+ iy et Z = X + iY avec x, y, X , Y réels. a. Déterminer X et Y en fonction de x et y .

b. Déterminer l’ensemble E des pointsM d’affixe z tels que Z soit réel.

c. Déterminer et construire l’ensemble F des points M d’affixe z tels que Z soit imaginaire pur.

d. Donner une interprétation géométrique de |Z |, |z−4|, |z−1|. En déduire l’ensemble D des pointsM d’affixe z tels que |Z | = 1. Construire D.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 6 points Enseignement de spécialité

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

, (Γ) est l’ensemble

des pointsM (t ) de coordonnées (x(t ) ; y(t )) telles que :

x(t )= 2

cos t et y(t )= 3tan t

quant t décrit l’intervalle ]

π

2 ; π

2

[

.

1. a. Comment M (−t ) se déduit-il de M (t ) ? En déduire que (Γ) admet un axe de symétrie.

b. Étudier les variations des fonctions x et y sur l’intervalle [

0 ; π

2

[

.

2. a. Démontrer que (Γ) est contenue dans l’hyperbole (H ) d’équation :

x2

4 −

y2

9 = 1.

b. Préciser les asymptotes à (H ), on les notera D et D′ ; les placer sur la figure.

c. Construire (Γ).

PROBLÈME 10 points

Partie I

On considère la fonction f définie sur R par

f (x)= x2e−x

ainsi que sa courbe représentative C dans un repère orthonormal (

O,~ı,~)

.

1. Calculer la dérivée de f .

2. En déduire le tableau de variation de f . Préciser les limites de f en +∞ et en −∞.

3. Tracer C . On choisira une unité graphique de 4 cm.

Partie II

1. Calculer J = ∫1

0 xe−x dx.

2. Vérifier que f est telle que : f ′(x)+ f (x)= 2xe−x . 3. En déduire que

∫1

0 f (x)dx = 2J− f (1)

(J est définie à la question II - 1.).

Partie III

L’équation f (x) = f (2) admet une seconde solution, notée α, et appartenant à l’intervalle I= [−1 ; 0].

Nouvelle-Calédonie 2 novembre 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1. Soit g (x)= (

− 2

e

)

e x 2 . Montrer que f (α)= f (2) équivaut à g (α)=α.

2. Montrer que g (I) est inclus dans I et que | g ′(x) |6 1

e pour tout x apparte-

nant à I.

3. En déduire que | g (x)−α |6 1

e | xα | pout tout x appartenant à I.

4. On définit la suite (Un)n∈N par

{

U0 =−0,5 Un+1 = g (Un ) pour tout entier n> 0

On admet queUn appartient à I pour tout entier n> 0.

Montrer que

|Un α |6 1

en |U0−α |6

1

2en

pour tout entier n> 0.

5. Déterminer le plus petit entier n tel que l’inégalité précédente fournisse une valeur approchée de α à 10−6 près.

Nouvelle-Calédonie 3 novembre 1996

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