Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 8, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - méthodes d'analyse numérique – 8, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercitation sur les méthodes d'analyse numérique – 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique, En déduire la probabilité de l’évènement D.
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[ Baccalauréat S La Réunion juin 1996 \

EXERCICE 1 4 points

Au cours d’une fête, le jeu suivant est proposé au public : Dans une urne se trouvent placées 7 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher. Le joueur prend une boule au hasard ; si cette boule est noire, le jeu s’arrête ; si cette boule est rouge, le joueur prend une deuxième boule (sans remettre la première boule tirée dans l’urne) et le jeu s’arrête. Une boule noire tirée apporte au joueur 1 F et chaque boule rouge 2 F. Pour faire un jeu, le joueur paie 2 F. On désigne par X la variable aléatoire associée au gain algébrique du joueur (c’est à dire la différence entre la somme rapportée par les boules tirées et le prix du jeu).

1. a. Quelles sont les valeurs que X peut prendre ?

b. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.

2. Un joueur fait trois jeux. Ceux-ci se déroulent dans des conditions identiques (après chaque jeu, les boules tirées sont remises dans l’urne).

Déterminer la probabilité des évènements suivants :

A : le joueur perd 3 F.

B : le joueur perd 1 F.

C : le gain du joueur est nul.

En déduire la probabilité de l’évènement D : « le joueur a un gain strictement positif ».

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes les équations suivantes :

a. z2−2z+5= 0.

b. z2−2(1+ p 3)z+5+2

p 3= 0.

2. On considère dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

les points A, B, C , D d’affixes respectives :

zA = 1+2i, zB = 1+ p 3+ i, zC = 1+

p 3− i, et zD = 1−2i.

a. Placer les points A, B, C , D et préciser la nature du quadrilatère ABCD.

b. Vérifier que zD zB zA zB

= i p 3

Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (BD) ?

c. Prouver que les points A, B, C , D appartiennent à un même cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ.

3. On considère l’équation :

z2−2(1+2cosθ)z+5+4cosθ = 0 (1)

θ désigne un nombre réel quelconque.

a. Résoudre l’équation (1) dans C.

b. Montrer que les images des solutions appartiennent au cercle Γ.

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

A

B C

I J

T

P

M

Q

S

On considère dans le plan euclidien orienté un triangle équilatéral ABC de sens di-

rect, c’est-à-dire tel que : (−−→ AB ,

−−→ AC

)

= π

3 .

On note I le milieu du segment [AB], J celui de [AC], M un point variable du segment [BC]. On mène par M la parallèle à (AC) qui coupe (AB) en P et (IJ) en S puis la parallèle à (AB) qui coupe (AC) en Q et (IJ) en T. On désigne par O le milieu du segment [PQ].

1. Quel est le lieu géométrique du point O lorsque M décrit le segment [BC] ?

2. Démontrer que O est le milieu des segments [IT] et [SJ].

3. On suppose dans la suite que M est distinct du milieu de [BC].

Démontrer que les triangles QMC et QTJ sont équilatéraux et de sens direct.

4. Soit s la symétrie de centre O et r la rotation de centre Q et d’angle π

3 . On pose

f = r s.

a. Déterminer les images par f des points P, A et I.

b. Justifier que f est une rotation d’angle − 2π

3 .

c. Déterminer le centreΩ de f . Que représente-t-il pour le triangle ABC?

5. Démontrer que la médiatrice de [PQ] passe par un point fixe indépendant de la position de la position de la position deM sur [BC].

PROBLÈME 11 points

On considère la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= ex − lnx

et sa courbe représentativeC dansunplan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité

graphique : 2 cm).

Partie A - Étude de la fonction f

1. a. Étudier les variations de la fonction ϕ définie sur R par

ϕ(x)= xex −1.

La Réunion 2 juin 1996

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

b. En déduire qu’il existe un réel unique α tel que αeα = 1. Donner un en- cadrement de α d’amplitude 10−3.

c. Préciser le signe de ϕ(x) selon les valeurs de x.

2. a. Déterminer les limites de f aux bornes de ]0 ; +∞[.

b. Calculer la fonction dérivée f ′ de f et étudier son signe sur ]0 ; +∞[ en utilisant la question A - 1.

Dresser le tableau des variations de f .

c. Montrer que f admet unminimum m égal à α+α−1.

Justifier que : 2,326m6 2,34.

Partie B - Construction de la courbe C et calcul d’aire

1. Donner une équation de la tangente T à C en son point d’abscisse 1.

Déterminer le point d’intersection de T et de l’axe des ordonnées.

2. Tracer C et T.

3. Soit λ un nombre réel de l’intervalle ]0 ; 1[.

a. Calculer ∫1

λ lnx dx, en utilisant une intégration par parties.

b. Exprimer, en centimètres carrés, en fonction de λ, l’aire A (λ) du do- maine plan constitué par les points M(x ; y) tels que : λ 6 x 6 1 et 06 y 6 f (x).

c. Déterminer la limite de A (λ) quand λ tend vers zéro par valeurs stricte- ment positives. (On admettra que lim

x→0 x lnx = 0).

Partie C - Étude d’une suite

1. En utilisant les résultats de la partie A, démontrer que, pour tout entier n > 3, l’équation f (x) = n admet une solution unique dans l’intervalle [1 ; +∞[. On notera xn cette solution.

2. Déterminer à la calculatrice des valeurs approchées à 10−1 près de x10, x100, x1000.

3. Démontrer que la suite (xn )n>3 est croissante.

4. Démontrer que, pour tout entier p > 3, f (lnp)6 p.

En déduire la limite de la suite (xn )n>3.

La Réunion 3 juin 1996

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