Exercitation – sciences mathèmatiques 10, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la probabilité P, les variations de g.
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[ Baccalauréat C Bordeaux groupe 2 1 juin 1980 \

EXERCICE 1 5 POINTS

1. Calculer, pour tout entier n > 0 :

In =

∫1

0

xn−1

1+ xn dx.

2. SoitΩ= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, soitα un nombre réel, et soit p l’application deΩ dans R définie par :

p(n)=n2αIn ,

pour tout n ∈Ω.

Déterminerαpour qu’il existe une probabilité P sur (Ω, P (Ω)) , telle que, pour tout n ∈Ω, on ait P({n})= p(n).

EXERCICE 2 4 POINTS

À tout nombre réel a, on associe la fonction numérique fa définie sur R par :

fa (x)= e −x

+ax.

Soit Ca la représentation graphique de cette fonction dans un plan affine euclidien,

rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Étudier les variations de fa . Quel est l’ensemble A des valeurs de a pour les- quelles les f a présentent un extremum?

2. Pour tout élément a ∈ A, on désigne par Ia le point de Ca correspondant à l’extremum. Déterminer en fonction de a les coordonnées de Ia .

3. Démontrer que l’ensemble E des points Ia lorsque a décrit A, est la représen- tation graphique d’une fonction g que l’on déterminera.

Étudier les variations de g et construire E.

PROBLÈME 11 POINTS

Soit E un plan vectoriel et soit (

−→ ı ,

−→

)

une base de E.

Pour tout couple (a, b) de nombres réels, soit Fa,b l’endomorphisme dont la matrice

dans la base (

−→ ı ,

−→

)

est

(

a 2(a−1) b 1+2b

)

.

Soit F l’ensemble des endomorphismes Fa, b , lorsque (a, b) décrit R 2.

Dans tout le problème, on désignera par −→ V le vecteur

−→ V =−2

−→ ı +

−→ .

1. a. Quelle condition nécessaire et suffisante doit vérifier le couple (a, b) pour que Fa, b soit une application bijective ?

b. Montrer que pour tout (a, b) ∈R2, on a Fa, b (

−→ V

)

= −→ V .

Quel est l’ensemble E1 des éléments de E invariants par Fa, b ?

Étudier en particulier le cas a = 1, b = 0.

1. Bordeaux, Limoges

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

c. Fixons a et b, et soit λ∈R.

Montrer que pour qu’il existe −→ W ∈ E,

−→ W 6=

−→ 0 , tel que Fa, b

(

−→ W

)

=λ −→ W , il

faut et il suffit que λ= 1, ou que λ= a+2b.

Quel est l’ensemble Ea+2b des éléments −→ W ∈ E tels que

Fa, b

(

−→ W

)

= (a+2b) −→ W ?

Montrer que si a 6= 1 ou b 6= 0, E1 et Ea+2b sont des droites vectorielles, et que si a+2b 6= 1, on a E= E1⊕Ea+2b .

d. Montrer que (

−→ ı ,

−→ V

)

est une base de E, et écrire la matrice de Fa, b dans

cette base.

2. Dans cette question, ainsi que dans la question 3, nous désignerons par E un plan affine associé à E. Soit O un point de E . On désigne par f l’application affine de E dans E , d’endomorphisme associé F−3, 2, et telle que f (O) soit le

point O1, de coordonnées (−b1 ; 1) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a. Montrer que f est une application bijective.

b. Soit M un point de E de coordonnées (x ; y) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

et

soit (

x1 ; y1 )

les coordonnées dans ce repère deM1 = f (M).

Exprimer x1 et y1 en fonction de x et y . Existe-t-il un point M invariant par f ?

c. Existe-t-il des droites affines parallèles à leur image par f ?

Existe-t-il un point M de E , tel que le vecteur −−−−→ MM1 soit colinéaire à

−→ V ?

Montrer qu’il n’existe pas de droite globalement invariante par f .

3. On désigne par ϕ l’application affine de E dans E , d’endomorphisme associé F−3, 2, et qui laisse le point O invariant.

Soit M un point de E , et soit M ′ = ϕ(M). Exprimer les coordonnées (

X ′ ; Y ′ )

de M ′, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ V

)

, en fonction des coordonnées de M dans ce

repère.

Soit D une droite affine dirigée par −→ V , et soit m l’intersection de cette droite

avec la droite L passant par O, et dirigée par −→ ı .

Montrer que pour tout M ∈ D, le transformé M ′ = ϕ(M) appartient à D, et

que −−−−→ MM ′ = 2

−−→ Om (les droites D et L étant munies des vecteurs unités

−→ V et

−→ ı

respectivement).

Quels sont les points invariants, et les droites globalement invariantes par ϕ ?

4. On considère les endomorphismes G de E, satisfaisant aux conditions :

– (C1)G (

−→ V

)

= −→ V (C1)

– (C2) il existe un nombre réel γ tel que Im (

G−γidE )

⊂∆

où∆ est la droite vectorielle engendréepar −→ V , (la notation idE dé"signant l’ap-

plication identité dans E).

a. Montrer que pour un endomorphisme H satisfaisant à (C2), le réel γ, tel que Im(H− idE )⊂∆, est unique.

b. Soient a et b des nombres réels. Quelle est lamatrice représentant Fa, b

(a+2b)idE dans la base (

−→ ı ,

−→ V

)

de E ? (Utiliser 1. d. En déduire que Fa, b satisfait aux conditions (C1) et (C2).

c. Réciproquement, soit G un endomorphisme de E satisfaisant àC1 etC2. Il existe donc δ ∈R tel que

G (

−→ ı

)

= γ −→ ı +δ

−→ V .

Bordeaux 2 juin 1980

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

Exprimer, en fonction de γ et δ, la matrice de G dans la base (

−→ ı ,

−→ V

)

de

E. Comparant à 1. d., en déduire qu’il existe des nombres réels a et b, tels que G = Fa, b .

Déterminer a et b en fonction de γ et δ.

d. Démontrer à l’aide des conditions C1 et C2 que le composé de deux en- domorphismes de F appartient à F , et que l’ensemble F ′ des endo- morphismesde la formeFa,b , où a+2b 6= 0, est un sous-groupedu groupe linéaire de E.

Bordeaux 3 juin 1980

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