Exercitation – sciences mathèmatiques 13, Exercices de Techniques de calcul

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Exercitation de sciences mathématique 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des complexes, la matrice.
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[ Baccalauréat C Caen septembre 1980 \

EXERCICE 1

Calculer l’intégrale définie ∫ π

4

0 x sin5 x dx.

EXERCICE 1

1. Dans le corps des complexes calculer

(2+ i)3 et (1− i)3.

2. Résoudre l’équation

z ∈C et z6−9iz3+18−26i = 0.

On en exprimera les racines sous forme algébrique.

PROBLÈME

Partie A

Soit la fonction f de R dans R ;

x 7−→ x+

p 5x2−4 2

et soit un plan affine euclidien P muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Faire une étude précise de f et tracer sa courbe représentative C dans le plan P .

2. D étant la droite d’équation y = −x, déterminer l’expression analytique de la symétrie affine s par rapport à la droite D selon la direction du vecteur

−→ .

3. Déterminer une équation de la courbe C′ image de C par s. En déduire que C ∪ C′ est la courbe d’équation

x2+ xy y2 = 1,

dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. On l’appellera H et on la tracera dans le plan P .

4. Écrire une équation de H dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

où −→ I désigne le vecteur

−→ ı +2

−→ . En déduire que H est invariante dans deux symétries (en plus de s)

dont on précisera les éléments.

Partie B

On désigne par A la matrice

(

1 1 1 2

)

et on considère la suite réelle (

up )

définie par

u0 = u1 = 1 et up+2 = up+1+up pourp ∈N.

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

1. Calculer A2 et A3. Démontrer par récurrence sur p que pour tout p ∈N⋆ on a

AP = (

u2p−2 u2p−1 u2p−1 u2p

)

2. Démontrer qu’il existe un réel a > 0, et un seul, tel que pour tout p ∈N, on ait

2aup = (

1

2 +a

)p+1 −

(

1

2 −a

)p+1 .

En déduire une expression de up en fonction de p.

Partie C

On considère l’application affine T deP dont l’endomorphisme associé a pour ma-

trice A dans la base (−→ ı ,

−→

)

et qui est telle que T (O)= O.

1. Montrer que T (H) = H.

2. On désigne par E le sous-ensemble de H constitué des points à coordonnées

entières [(x, y) ∈Z2] dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Montrer que T (E)⊂ E et s(E)⊂ E.

3. Soit la suite de points (Mn ) définie par : ∀n ∈N, Mn+1 = T (Mn ) , M0 étant le point de coordonnées (1 ; 0).

On désigne par xn et yn l’abscisse et l’ordonnée deMn . En utilisant la partie B exprimer xn et yn en fonction des termes de la suite (un ), puis en fonction de n.

4. Étudier le comportement de la suite (xn ) lorsque n tend vers plus l’infini. En déduire que E est infini.

Caen 2 septembre 1980

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