Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 3, Exercices de Calculs avancés

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démontrer que x est une transformation orthogonale, Étudier la continuité et la dérivabilité de f .
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[ Baccalauréat C Dijon septembre 1980 \

EXERCICE 1

Dans un espace vectoriel euclidien E, de dimension 3, rapporté à une base ortho-

normée (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. On considère l’application linéaire ϕ de E dans E définie par

ϕ

(

−→ ı )

= −→ , ϕ

(

−→

)

= −→ k , ϕ

(−→ k )

=− −→ ı .

1. Démontrer que ϕ est une transformation orthogonale.

Quel est l’ensemble de ses vecteurs invariants ?

2. Démontrer que ϕϕ est une rotation vectorielle dont on déterminera l’axe D.

3. On désigne par P le plan vectoriel orthogonal à D. Définir analytiquement la symétrie vectorielle orthogonale σ par rapport à P.

4. Démontrer l’existence d’une rotation vectorielle r d’axe D telle que ϕ= σr . Les applications σ et r commutent-elles ?

EXERCICE 2

Soit n un entier naturel non nul, q un réel distinct de 0, de 1 et de −1. On considère, dans le plan complexe, n points A0, A1, · · · , An−1 d’affixes respectives z0, z1, · · · , zn−1.

1. Démontrer que le système de points pondérés

{(

Ak , q k )

06 k 6 n−1 }

admet un barycentreGn .

2. On donne

z0 = 1;

z1 = cos 2π

n + isin

2π

n ;

zk = (z1) k k ∈ {1, 2, · · · , n−1}

a. Déterminer l’affixe zn deGn à l’aide de q et z1.

b. Calculer la partie réelle Xn et la partie imaginaire Yn de Zn . (

On rappelle queXn = Zn +Zn

2 , Yn =

Zn Zn

2 .

)

3. a. Comment faut-il choisir n pour que Zn soit réel ?

b. Déterminer lim n→+∞

Xn et lim n→+∞

Yn .

PROBLÈME

On désigne par E(x) (partie entière du réel x), l’entier relatif k tel que k 6 x < k +1 et par Log x le logarithme népérien de x. Soit la fonction f de R dans R définie par

f :7−→

{

f (x) = E(x)Log x si x 6= 0 f (0) = 0.

Partie A

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

1. Déterminer l’ensemble de définition de f . Démontrer que f est une fonction croissante sur cet ensemble (on ne cherchera pas à la dériver). Sur quel sous- ensemble est-elle strictement croissante ?

2. Démontrer que pour x supérieur ou égal à 1, f (x) est supérieur ou égal à Log x. En déduire lim

x→+∞ f (x).

3. Étudier la continuité et la dérivabilité de f .

4. Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé R (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a. Étant donné k entier naturel non nul, on désigne par Ck la représenta- tion graphique de la fonction

gk : x 7−→ gk (x)= kLog x

(x réel strictement positif).

Construire, dans R, C1, C2, C3.

b. En déduire la représentation graphique de f sur [0 ; 4].

Partie B

1. Démontrer que f est intégrable au sens de Riemann sur tout segment [0 ; A](A étant un réel strictement positif).

2. Démontrer que, pour tout entier naturel k, non nul,

k+1

k f (x)dx = k

k+1

k Log x dx = k(k+1)Log (k+1)−k2Log (k)−k.

3. Déduire de 2. que, pour tout n deN− {0 ; 1} :

n

1 f (x)dx =−

n

k=2 kLog (k)+n2Log (n)−

n(n−1)

2 .

[On pourra remarquer que k(k+1)= (k+1)2− (k+1).]

4. a. n étant un entier supérieur ou égal à 2, démontrer que, pour tout entier k supérieur ou égal à 2 et inférieur ou égal à n :

kLogk 6 kLogn.

En déduire que n

k=2 kLogk 6

(

n(n+1)

2 −1

)

Logn.

b. Démontrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2

n

1 f (x)dx 6

n

1 xLog x dx.

En déduire que

n2

2 Log (n)−

n2

4 + n

2 − 1

4 6

n

k=2 kLogk.

c. Démontrer que lim n→+∞

n

k=2 kLogk

n2

2 Log (n)

= 1.

Dijon 2 septembre 1980

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