Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 6, Exercices de Calculs avancés

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Exercitation sur les calculs avancés de mathèmatique 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer tous les couples (p, q) d’entiers naturels non nuls, En déduire que pour tout x > 0.
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[ Baccalauréat C Japon, Hong Kong juin 1980 \

EXERCICE 1

1. On considère dans Z2 l’équation (1) :

11a +7b = 1980.

a. Montrer que, pour tout couple (a, b) solution de (1), b est divisible par 11.

b. En déduire l’ensemble des solutions de (1).

2. Déterminer tous les couples (p, q) d’entiers naturels non nuls, tels que

11m +7d = 1980

m désigne le PPCM de p et de q , et d leur PGCD.

EXERCICE 2

Soit le plan affine P euclidien rapporté à un repère orthonormé. À tout point M(x ; y) on associe les points A(0, ; x) et B(−y ; 0), puis le point M

(

x′ ; y ′ )

barycentre des points M, A, B affectés respectivement des coefficients (1−αβ) ;α ; β. (α et β sont des nombres réels). On désigne par , β l’application de P dans P telle que , β(M)= M

′.

1. Montrer que x′ et y ′ vérifient

{

x′ = (1−αβ)x βy y ′ = αx + (1−αβ)y.

En déduire que , β est une application affine laissant au moins un point in- variant.

2. Déterminer les couples de réels (α, β) tels que , β soit involutive.

3. Déterminer la nature de l’involution qui correspond α > β. (On pourra cher- cher d’abord l’ensemble des points invariants).

PROBLÈME

E étant l’espace vectoriel des fonctions numériques définies et continues sur R+ = [0 ; +∞[, on associe à toute fonction f de E la fonction T ( f )= F définie par

F (0) = f (0)

F (x) = 1

x

x

0 f (t)dt six > 0.

Partie A

1. On considère les deux fonctions f1 et f2 de E définies par

f1(x)= 1

p 1+ x

et f2(x)= (1− x)e −x .

On pose F1 = T (

f1 )

et F2 = T (

f2 )

.

Le baccalauréat de 1980 A. P. M. E. P.

a. Calculer les primitives de f1 et f2 sur R+. Trouver des expressions de F1(x) et F2(x) valables pour tout x > 0.

b. Étudier la fonction f2. Tracer sur unmême graphique les représentations de f2 et F2. Interpréter graphiquement F2(1).

2. Soit la fonction f définie sur R+ par

f (x)= 2x +1

(x +1)2

a. Déterminer les réels a et b tels que. pour tout x > 0,

f (x)= a

x +1 +

b

(x +1)2 .

En déduire que pour tout x > 0

F (x)= 2Log (x +1)

x

1

x +1 .

b. Vérifier que F est élément de E. Montrer que pour tout t > 0, on a

t2 < f (t)−1< 0.

En déduire que F est dérivable en 0.

c. Quel est le sens de variation de f sur R+ ? Montrer que, pour tout x > 0, il existe x′ ∈]0 ; x[ tel que F (x)= f

(

x′ )

.

Montrer que, pour tout x > 0,

F ′(x)= 1

x [ f (x)−F (x)].

En déduire que F est monotone sur R+. Quelle est l’image de R+ par F ?

Partie B

1. Montrer, en utilisant le théorème de la moyenne, que T est une application de E dans E. Montrer que T est linéaire et injective.

2. Montrer que tout élément de E possédant sur R+ une dérivée continue admet un antécédent par T que l’on déterminera.

3. Soit E′ l’ensemble des applications g définies sur R+ par

g (x)= ex (

ax2+bx +c )

avec (a, b, c) ∈R3.

Montrer que E′ est un sous-espace vectoriel de E dont une base est (

g1, g2, g3 )

avec

g1(x)= e x ; g2(x)= xe

x ; g3(x)= x 2ex .

Montrer queT (

E ′ )

est un sous-espace vectoriel de Edont unebase est (

g1, g2, g4 )

avec

g4(0) = 1

g4(x) = ex −1

x si x > 0.

Hong Kong 2 juin 1980

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