Exercitation - théorie de calcul 1, Exercices de Calculs. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Exercitation - théorie de calcul 1, Exercices de Calculs. Université Bordeaux I

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Exercitation sur la théorie de calcul 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le repère orthonormé direct, la rotation d’axe, les coordonnées du point.
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[ Baccalauréat C groupe 4 1 juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) un repère orthonormé direct de l ?espace E.

On désigne par :

R1 la rotation d’axe Oz orienté par −→ k , et d’angle

π

6

R2 la rotation d’axe Oz orienté par −→ k , et d’angle

5π

6

T1 la translation de vecteur

( 1

2

−→ k

)

T2 la translation de vecteur ( −2

−→ k )

On considère les vissages : V1 = R1 ◦T1 = T1?R1etV2 =R2 ◦T2 = T2 ◦R2.

1. Étant donné un point M quelconque de E, calculer en fonction des coordon- nées (x ; y ; z) de M les coordonnées des points suivants :

V1(M),V2(M),V1 ◦V2(M),V2 ◦V1(M).

2. Caractériser les transformations V1 ◦V2 et V2 ◦V1, et expliquer sans calculs les résultats obtenus.

EXERCICE 2 4 POINTS

Dans le plan P muni du repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) , on définit les trois points :

A(1 ; 0) ; B

( 3

2 ; 1

2

) ; C

( 3

2 ; −

1

2

)

et la droiteD dont une équation est : x = 1.

1. Déterminer les coordonnées du point G tel que −−→ CG =

−−→ AB .

Quelle est la nature du quadrilatère (A, B, G, C) ?

2. On note (Γ) l’ensemble des pointsM de P, de coordonnées (x ; y), qui vérifient la relation :

MA2+MB2+MC2 = 2(x−1)2 .

a. Montrer que B et C appartiennent à (Γ).

b. Montrer que (Γ) est l’ensemble des points M de P tels que :

MG= p 2d(M , D)

d(M , D) désigne la distance deM à la droiteD.

c. En déduire la nature de (Γ) et préciser ses éléments remarquables. Re-

présenter (Γ) dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

) .

PROBLÈME 12 POINTS

N.B. : Il n’est pas nécessaire d’avoir traité la partie A pour aborder la suite.

1. Aix-Marseille - Nice - Corse - Montpellier - Toulouse

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

Soit P unplan affine euclidienorienté rapporté au repère orthonormédirect ( O,

−→ ı ,

−→

) ;

les points de P sont repérés, soit par leurs coordonnées (x ; y), soit par leur affixe x+ iy . Le but du problème est l’étude de l’ensemble (Γ) des points M(t), t ∈ R, du plan P, de coordonnées (x(t) ; y(t)) telles que :

{ x(t) = et cos t y(t) = et sin t .

Partie A

1. a. Vérifier, pour tout réel t , les relations :

cos t − sin t = p 2cos

( t +

π

4

)

et

cos t + sin t = p 2sin

( t +

π

4

) .

b. Étudier les variations des fonctions x : t 7−→ x(t) et y : t 7−→ y(t) sur l’in-

tervalle [ 0 ;

π

2

] .

c. Tracer dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

) la portion de (Γ), ensemble des points

M(t) lorsque t décrit [ 0 ;

π

2

] .

(on aura soin, enparticulier, des représenter les pointsM(0), M(π/4), M(π/2) et les tangentes à (Γ) en ces points.)

2. Calculer, pour tout réel t :

cos

 

á −−−→ OM ;

d −−−→ OM

dt

  et sin

 

á −−−→ OM ;

d −−−→ OM

dt

  .

En déduire que l’angle

 

á −−−→ OM ;

d −−−→ OM

dt

  est constant et en donner une mesure.

3. On pose, pour tout réel a et b, Lba = ∫b

a

∥∥∥∥∥ d −−−→ OM

dt

∥∥∥∥∥ dt .

Donner l’expression L π

2 0 et en calculer une valeur approchée à 10

−2 près.

Étudier la limite éventuelle de L0t lorsque t tend vers −∞.

Partie B

1. Montrer que les fonctions x et y sont des solutions surR d’unemêmeéquation différentielle linéaire et homogène du second ordre à coefficients constants.

2. Résoudre dans R l’équation différentielle :

X ′′−2X ′+2X = 0.

Partie C

1. Pour tout réel t , on note ft l’application de P dans P qui, au point M d’affixe Z fait correspondre le point M1 d’affixe Z1 telle que Z1 = z(t)Z , où z(t) est l’affixe du point M(t) défini dans la partie A.

a. Préciser la nature de ft et ses éléments remarquables.

Aix-Marseille 2 juin 1984

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

b. Montrer que, pour tout t et t ′ réels, ft ft ′ = ft+t ′ .

Soit G l’ensemble des applications ft , t ∈ R. Montrer que (G, ◦) est un groupe commutatif des transformations du plan P.

2. a. Montrer que, pour tout t et t1 réels, ft (M (t1)) = M (t + t1). En déduire que, pour tout réel t , ft (Γ)= (Γ).

b. Montrer que, si M1 =M (t1) est un point quelconque de (Γ), l’ensemble :{ ft (M1) , t ∈R

} est égal à (Γ).

Partie D

Soit t un réel fixé non nul. On note A0 le pointM(0) et on définit les points An(n ∈N∗

par la relation de récurrence :

An = ft (An−1) si n> 1.

1. a. Calculer en fonction de t la longueur A0A1.

b. Montrer que la suite (An−1An) des longueurs An−1An est une suite géo- métrique.

c. En déduire une expression de :

Ln (t)= A0A1+ A1A2+·· ·+ An−1An en fonction de n et t .

2. On suppose t < 0. Montrer l’existence de lim n→+∞

Ln(t) et calculer sa valeur L(t).

Montrer que e2t −2et cos t +1

( 1−et

)2 = 1+2e t 1−cos t( 1−et

)2 .

En déduire la limite de L(t) lorsque t tend vers zéro par valeurs négatives. Comparer ce résultat à la limite de L0t trouvée au A 3.

Aix-Marseille 3 juin 1984

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