Exercitation - théorie de calcul 11, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Exercitation - théorie de calcul 11, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les solutions complexes, l'équation des courbes.
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[ Baccalauréat C Bordeaux 1 septembre 1984 \

EXERCICE 1 5 points

1. Déterminer les solutions complexes z1, z2 avec |z1| < |z2| de l’équation :

z2−3(1+ i)z+4i= 0.

2. Dans le plan P rapporté au repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→ )

soient A, B, C

les points d’affixes respectives i, z1, z2.

a. Représenter A, B, C dans P et déterminer l’affixe du barycentre des points A, B, C affectés respectivement des coefficients 2, −2, 1.

b. Déterminer l’ensemble des points M de P vérifiant :

−−−→ MO 2−2−−→MA 2+2−−→MB 2−−−→MC 2 = 2.

3. Déterminer la similitude directe transformant A en B et B en C. Préciser son centre, son angle, son rapport.

EXERCICE 2 4 points

Le plan orienté P étant rapporté à un repère orthonormé direct (

O, −→ ı ,

−→ )

, on dé-

signe par A, B et C les points de P de coordonnées respectives (1 ; 0), (

0 ; p 3 )

et (−1 ; 0) dans ce repère. On appelle r la rotation de centre B, d’angle de mesure

π

3 , r ′ la rotation de centre A,

d’angle de mesure − 2π

3 , et s la symétrie par rapport à I (I milieu de (A, B)).

Soit f l’application r ′ ◦ s r .

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f (on utilisera f (C) et f (B)).

2. Déterminer les applications de C dans C associées à r, r ′, s et f et retrouver ainsi les résultats du 1.

PROBLÈME 12 points

Effet d’une transformation sur la représentation graphique d’une fonction

Un plan P est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

. On noteP le plan privé

de la droite de repère (

O, −→ ı )

.

T désigne l’application deP dansP qui, au pointM(x, y), associe le pointM ′(x′, y ′) tel que

x′ = −x

y ′ = 1

y .

Partie A

1. Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours, Poitiers, Rennes

Terminale C A. P. M. E. P.

1. L’objet de cette question est de construire M ′ à partir de M ; la suite du pro- blème n’en dépend pas.

Soit m la projection orthogonale d’un point M de P sur la droite de repère (

O, −→ ı )

. On désigne par N1 et par N2 les points tels que −−−→ mN1 −

−−−→ mN2 =

−→ ı , par

M1 l’orthocentre du triangle MN1N2 ?

Calculer les coordonnées deM1 en fonction des coordonnées deM (on pourra

utiliser le produit scalaire : −−−−→ N2M1 ·

−−−→ N1M et en déduire queM ′ est le symétrique

orthogonal de M1 par rapport à la droite de repère (

O, −→ )

.

2. On donne les trois demi-droites D,∆ et L définies respectivement par y = x+1 et x > 1 ; par y = 2x+1 et x> 1 ; par y = 1 et x 6−1. Donner une équation des courbes D′, ∆′, L′ transformées respectives par T de D, ∆, L. On représentera D, ∆ , L, D′, ∆′, L′ sur unmême dessin (unité 2 cm).

Partie B

Soit f la fonction définie sur R par 

f (0) = 2

f (x) = (1+ x)ex −1

ex −1 pour x 6= 0.

1. Montrer

a. qu’on a, pour x 6= 0, f (x)= 1+ ( x

ex −1

)

ex

b. que f est continue sur R.

2. Montrer

a. que f est dérivable au point zéro et que f ′(0) = 1

2 (on pourra utiliser le

développement limité d’ordre 2 au voisinage de zéro de la fonction qui à x associe ex ).

b. que f est dérivable sur R et préciser f ′(x) pour tout x.

3. a. Soit α la fonction définie sur R par α(x)= ex x−1. Étudier les signes de α′(x) et de α(x) suivant les valeurs de x.

b. En déduire le tableau de variations de f .

c. Soit C la courbe représentative de f . Démontrer que D et L sont asymp- totes à C . Préciser la position des branches infinies de C par rapport à D, ∆ et L.

Dessiner C sur la figure demandée au A 2.

Partie C

Soit g la fonction définie sur R par

g (0) = 1

2

g (x) = ex −1

ex + x−1 pour x 6= 0.

1. Montrer que g (x)= 1

f (−x) pour tout x. En déduire :

a. que g est continue et strictement croissante sur R

b. que g est dérivable sur R. Exprimer g ′(x) à l’aide de f (−x) et de f ′(−x). Préciser g ′(0).

c. préciser les limites de g en +∞ et −∞.

Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours,Poitiers, Rennes

2 septembre 1984

Terminale C A. P. M. E. P.

2. Soit Γ la courbe représentative de g . Montrer que Γ est la transformée, par T de C . En utilisant la position de C par rapport à D et ∆ (cf. B 3. c.), montrer qu’on a :

x ∈]−∞ ; −1], 1

1−2x 6 g (x)6

1

1− x .

et préciser la position de Γ par rapport à D′ et ∆′. Compléter la figure deman- dée au A 2. par le tracé de Γ.

3. Soit A1(λ) l’aire de l’ensemble des points M(x ; y) tels que λ6 x 6−1 et 06 y 6 g (x) et A2(µ) l’aire de l’ensemble des points M(x ; y) tels que :

16 x6µ et g (x)6 y 6 1.

On ne cherchera pas à calculer A1(λ) et A2(µ).

a. Prouver que A1(λ) tend vers +∞ quand λ tend vers −∞. b. Prouver que l’on a : 1− g (x)6 xe−x pour x > 1 et en déduire que A2(µ)

admet une limite finie quand µ tend vers +∞.

Bordeaux, Caen, Clermont-Ferrand, Limoges, Nantes, Orléans-Tours,Poitiers, Rennes

3 septembre 1984

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