Exercitation - théorie de calcul 15, Exercices de Théorie de calcul
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Eusebe_S10 avril 2014

Exercitation - théorie de calcul 15, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’hyperbole d’équation cartésienne, la fonction numérique de la variable réelle.
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[ Baccalauréat C groupe 3 1 septembre 1984 \

EXERCICE 1

EXERCICE 3

Leplan euclidien est rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. Pour les représenta-

tions graphiques, on adoptera pour unité de longueur 2 cm.

Partie A

1. Soit (H) l’hyperbole d’équation cartésienne

y2−4x2 = 4.

Représenter graphiquement (H) enprécisant les coordonnées de ses sommets et des équations cartésiennes de ses asymptotes.

Déterminer l’excentricité et les coordonnées des foyers de (H).

2. Soient F et F′ les points de coordonnées respectives (

0 ; p 3 )

et (

0 ; − p 3 )

3. Déterminer une équation cartésienne de l’ellipse (E ) de foyers F et F′ et d’ex-

centricité

p 3

2 .

Représenter graphiquement (E ) enprécisant les coordonnées de ses sommets.

Partie B

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par

{

f (x) = −2 p 1− x.|x| pour x 6 1

f (x) = ln (

x+ p x2−1

)

pour x > 1

1. Vérifier que les formules précédentes définissent f (x) pour tout réel x. La fonction f est-elle continue ?

2. a. Démontrer que f est dérivable sur chacun des intervalles ]−∞ ; 0[, ]0 ; 1[, ]1 ; +∞[ et calculer f ′(x).

b. Démontrer que f est dérivable en 0 en préciser la valeur de f ′(0) : on pourra utiliser le développement limité à l’ordre 1 de la fonction

t 7−→ p 1+ t au voisinage de 0.

c. Étudier le comportement du rapport f (x)− f (1)

x−1 quand x tend vers 1

par valeurs supérieures et par valeurs inférieures. Pour x > 1, on pourra poser x −1 = u et utiliser le développement limité d’ordre 1 de la fonc- tion t 7−→ ln(1+ t) au voisinage de 0 ou le comportement de la fonction

t 7−→ ln(1+ t)

t au voisinage de 0.

3. Démontrer que la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle ]−∞ ; 1] est un sous-ensemble de (E ) ∪ (H). ((E ) et (H) étant les coniques considérées dans la partie A.)

Étudier les variations de f et tracer la courbe (C ) représentative de f .

Préciser les tangentes à la courbe (C ) aux points d’intersection avec les axes de coordonnées.

1. Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

Partie C

1. Démontrer que f est une bijection de R sur R. Tracer sur le même graphique que (C ) la courbe

(

C ′ )

représentative de f −1, fonction réciproque de f .

2. Si x > 1, démontrer l’égalité : f −1(x)= ex +e−x

2 .

3. Si a> 0, calculer ∫a

0 f −1(x)dx.

En déduire, pour tout t > 1, la valeur S(t) de l’aire de la partie du plan limitée par la courbe (C ), l’axe x′Ox et les droites d’équations x = 1 et x = t .

Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

2 septembre 1984

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