Exercitation - théorie de calcul 2, Exercices de Théorie de calcul. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Exercitation - théorie de calcul 2, Exercices de Théorie de calcul. Université Bordeaux I

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Exercitation sur la théorie de calcul 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la définition et les propriétés du module, la fonction numérique de la variable réelle, la continuité et la dérivabilité en 0 de f...
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[ Baccalauréat C Amérique du Nord juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) . On désigne par

A, B et M les points d’affixes respectives −1, −2, et z, où z représente un nombre complexe différent de −1 et de −2.

Posons Z = z+2

z+1 ;

|Z | désigne le module de Z et arg Z désigne la mesure de l’argument de Z apparte- nant à [−π ;π[.

Justifier que |Z | = BM

AM et que arg Z est une mesure, en radians de l’angle orienté

á(−−→ MA ,

−−→ MB

) en utilisant la définition et les propriétés du module et de l’argument

d’un nombre complexe.

1. Utiliser le rappel ci-dessus pour déterminer géométriquement les ensembles suivants :

E1 est l’ensemble des points M dont l’affixe z est telle que Z est réel,

E2 est l’ensemble des points M dont l’affixe z est telle que Z est imaginaire pur,

E3 est l’ensemble des points M dont l’affixe z est telle que Z est élément de R ⋆

− = {x ∈R/x < 0}.

E4 est l’ensemble des points M dont l’affixe z est telle que arg Z =+ π

2 .

E5 est l’ensemble des points M dont l’affixe z est telle que |Z | = 1.

2. Déterminer l’ensemble E6 des points M dont l’affixe z est telle que |Z | = 2.

EXERCICE 2 4 POINTS

On appelle θ la fonction numérique de la variable réelle définie par

θ(x)=

( 1+

1

x

) ln(1+ x).

1. h désigne la fonction numérique de la variable réelle définie par

h(x)= x− ln(1+ x).

Étudier le sens de variation de h et le signe de h(x).

2. Quel est l’ensemble de définition de θ, D ?

Quelle est la limite de θ(x) quand x tend vers +∞ ?

Quelle est la limite de θ(x) quand x tend vers −1 ?

On désigne par F l’application de D ∪ {−1} vers R définie par

{ F (−1) = 0 F (x) = θ(x), ∀x D ∪ {−1}.

Étudier la dérivabilité en −1 de F .

3. Quelle est la limite de θ(x) quand x tend vers 0 ?

On désigne par f l’application deD ∪ {−1} vers R définie par

{ f (0) = 1 f (x) = F (x), ∀x D ∪ {−1}.

Étudiez la continuité et la dérivabilité en 0 de f .

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

4. Étudier les variations de f en utilisant en particulier 1.

Construire la courbe représentative de f .

PROBLÈME 12 POINTS

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→

) .

À tout nombre réelm, on associe : – la translation tm de vecteurm

−→ ı ,

– l’affinité orthogonale am , d’axe la droite de repère ( O,

−→ ı

) et de rapport e−m .

On note Tm l’application tm am .

Partie A

1. a. Préciser T0.

b. Démontrer l’égalité tm am = am tm .

c. Démontrer que Tm est une bijection de P sur P, et expliciter la bijection réciproque T−1m .

2. a. Démontrer que si M a pour coordonnées (x ; y), les coordonnées (x′ ; y ′) de Tm(M) sont

x′ = x+m et y ′ = e−m y.

b. On désigne par (Γ) la courbe d’équation y = e−x ; démontrer l’égalité

Tm(Γ)= (Γ).

3. On désigne par (γ) le cercle de centre O et de rayon 1.

a. Déterminer une équation de Tm(γ).

Dans le cas où m n’est pas nul, on constatera que Tm(γ) est une ellipse dont on précisera l’axe focal et les sommets ; justifier que l’un des som- mets de l’ellipse Tm(γ) appartient à (Γ).

b. Construire sur le même schéma les courbes (Γ), (γ), T 1 2 (γ) et T−1(γ). (On

ne demande que les dessins des courbes).

Partie B

On considère l’application f de R dans R définie par

{ ∀x ∈ [0 ; 2], f (x) = x2(2− x) ∀x ∈R, f (x+2) = f (x).

1. Étudier la restriction f0 de f à l’intervalle [0 ; 2] et construire la courbe repré- sentative de f0.

Comment peut-on en déduire la courbe représentative de la restriction de f à l’intervalle [2n ; 2n+2] où n est élément de R ?

2. Démontrer que

x ∈ [2n ; 2n+2], f (x)= (x−2n)2(2n+2− x).

3. Est-ce que f est continue sur R ? Est-ce que f est dérivable sur R ?

Partie C

Amérique du Nord 2 juin 1984

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

On considère l’application g de [0 ; +∞[ dans R définie par :

g (x)= e−x f (x).

1. On note g0 la restriction de g à l’intervalle [0 ; 2].

a. Étudier les variations de g0 et construire sa courbe représentative C0.

b. Calculer A0 = ∫2

0 g0(x)dx.

2. a. n étant un entier naturel et x un nombre réel positif ou nul, démontrer que

g (x+2)= e−2g (x),

puis exprimer g (x+2n) en fonction de g (x).

b. Démontrer que la courbe représentative Cn de la restriction de g à l’in- tervalle [2n ; 2n+2] est l’image de C0 par T2n .

c. Démontrer que An = ∫2n+2

2n g (x)dx = e−2A0.

d. Onnote : Sn = n

p=0 Ap : calculer Sn en fonction de n et de A0 ; justifier que

la suite (Sn)n∈N est convergente et préciser sa limite.

N.B. La partie B est indépendante du A

Amérique du Nord 3 juin 1984

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