Exercitation - théorie de calcul 6, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 6, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la courbe représentative C, les constantes réelles, les variations de g .
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[ Baccalauréat C Antilles–Guyane juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit P le plan affine euclidien orienté et R = (

O, −→ u ,

−→ v

)

un repère orthonormé direct

de P. Soit f l’application de P dans P, qui, à tout point M d’affixe z = x+iy , associe le point M ′ d’affixe :

z ′ = x′+ iy ′ = (1+ i)z − i.

1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de f .

2. On note A le point de coordonnées (1 ; 0) et O′ l’image de O par f . Soit D une droite passant par O, D′ l’image de D par f .

a. Donner une mesure de l’angle (D, D′).

b. On désigne par I le point d’intersection de D et D′. Montrer que

(A, I, O, O′) sont cocycliques.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit la suite (un ) à termes positifs définie sur N⋆ par :

{

u1 = 1 n2u2n − (n−1)

2u2n−1 = n pourn > 2.

1. On considère la suite (un ) définie surN⋆ par vn = n2u2n .

Déterminer vn en fonction de n.

2. En déduire que (un ) est convergente et déterminer sa limite.

PROBLÈME 12 POINTS

Soit : I un intervalle ouvert de R, ϕ une application continue de I dans I, involutive, c’est-à-dire telle que : ϕϕ= Id où Id est l’application identique de I.

On se propose de déterminer et d’étudier dans certains cas, des applications f de I dans R vérifiant la relation :

(E) : f ′(x)= f (x)+ f (ϕ(x))pour tout réel x de I.

Partie A

On considère les fonctions numériques ϕ1, ϕ2 définies sur R par :

ϕ1(x)= a x (a nombre réel fixé), {

ϕ2(x) = − ln(x +1) si x > 0 ϕ2(x) = e−x −1 si x < 0

où lnx est le logarithme népérien de x.

1. Montrer que ϕ1 et ϕ2 sont involutives. Étudier leur continuité et leur dériva- bilité.

2. Étudier les variations de ϕ2. Tracer sa courbe représentative C dans le plan rapporté à un repère orthonormé.

Partie B

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

On suppose qu’il existe une fonction f vérifiant (E).

1. Montrer que f ′ est continue sur I et que si ϕ est dérivable sur I, alors f ′ est dérivable sur I.

2. Établir la relation : pour tout x de I, f ′(ϕ(x))= f ′(x).

En déduire que si ϕ est dérivable sur I, alors f vérifie la relation :

(F) : f ′′(x)− [1+ϕ′(x)] f ′(x)= 0 pour tout réelx de I.

3. On pose ϕ=ϕ1.

a. Déterminer l’ensemble des fonctions f vérifiant (F).

b. Préciser, parmi celles-ci, celles qui vérifient aussi (E).

Partie C

On revient au cas général où ϕ est une fonction dérivable et involutive sur I. On suppose de plus qu’il existe un point x0 unique de I tel que ϕ (x0)= x0.

1. Montrer que la fonction f définie sur I par :

f (x)= A x

x0

et+ϕ(t ) dt +B A etB sont des constantes réelles,

vérifie la relation (F).

2. Montrer que les fonctions

x 7−→ ex+ϕ(x) et x 7−→ ∫

ϕ(x)

x0

et+ϕ(t )dt + ∫x

x0

et+ϕ(t ) dt

sont des primitives sur I d’une même fonction. En déduire que :

x ϕ(x) 0

et+ϕ(t ) dt + ∫x

x0

et+ϕ(t ) dt = ex+ϕ(x)−e2x0 .

3. En déduire la relation qui doit lier A et B pour que f vérifie la relation (E).

Partie D

On pose ϕ=ϕ2.

1. Montrer que 0 est la seule valeur de x vérifiant ϕ2(x)= x.

2. Déterminer, en appliquant les résultats du C, des fonctions vérifiant (E).

a. Montrer que : e−t + t −1> 0 pour tout t réel.

En déduire que : ∫x

0 et+e

t −1 dt 6 x pour tout x 6 0. En déduire lim

−∞

g .

b. Donner le tableau de variation de g .

3. Soit g la fonction définie par :

g (x) = 1+2 ∫x

0 et−ln(1+t ) dt si x > 0

g (x) = 1+2 ∫x

0 et+e

t −1 dt si x < 0.

a. Montrer que g vérifie E. Préciser g ′(0). Déterminer les variations de g .

b. Montrer que si t > 0, et−ln(1+t ) > 1

1+ t . En déduire lim

+∞

g .

Antilles–Guyane 2 juin 1984

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