Exercitation - théorie de calcul 9, Exercices de Théorie de calcul
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercitation - théorie de calcul 9, Exercices de Théorie de calcul

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Exercitation sur la théorie de calcul 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le développement limité, la composée de n.
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[ Baccalauréat C groupe 3 1 juin 1984 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans le plan P muni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, on appelle disque unité :

D = {M ∈P/OM 6 1}. On appelle distance d’un point M à D, et on note d(M , D), la plus petite des dis- tances deM aux points deD.

1. Démontrer que si M est extérieur au disque, alors d(M , D)=MM0 où M0 est l’intersection du cercle unité avec le segment [OM].

2. En déduire que si x et y sont les coordonnées deM , on a alors :

d(M ,D)= √

x2+ y2−1.

3. Soit ∆ la droite d’équation y =−2. Chercher alors l’ensemble des points M du plan tels que :

d(M , D)= 2d(M , ∆).

Représenter D, ∆ et l’ensemble obtenu sur une même figure.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit F la fonction définie sur R par :

x ∈R, F (x)= ∫1

0 etx

2 dx.

1. Calculer F (x) pour x 6= 0 et F (0). Démontrer que F est continue en 0. 2. Écrire un développement limité de à l’ordre 2 de ex au voisinage de 0.

En déduire un développement limité à l’ordre 2 de F (x) au voisinage de 0. Démontrer alors que : F ′(0)= 0.

3. Démontrer que si

06 x 6 x′ alors F (x)6 F (

x′ )

et que : lim x→+∞

F (x)=+∞.

4. Donner, en tenant compte des résultats précédents, l’allure du graphe de F .

PROBLÈME 12 POINTS

N.B.- Les parties B et C sont indépendantes.

Soient (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère orthonormé direct du plan, et s la similitude directe de

centre O, d’angle 3π

4 , de rapport

1 p 2 .

A

1. Définir s analytiquement. M étant un point du plan, on poseM ′ = s(M),M ′′ = s s(M).

1. Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

2. Montrer que pour tout point M ,

−−−−→ OM ′′ +

−−−→ OM ′ +

1

2

−−−→ OM =

−→ 0 .

B

On appelle M0 le point de coordonnées (1 ; 0), et pour tout n ∈ N, on pose Mn+1 = s (Mn). On appelle

(

xn ; yn )

les coordonnées deMn .

1. Montrer que :

n ∈N, xn+2+ xn+1+ 1

2 xn = 0

et yn+2+ yn+1+ 1

2 yn = 0. (Utiliser A 2.)

2. Soit (un ) une suite vérifiant la relation :

n ∈N, un+2+un+1+ 1

2 un = 0

Montrer par récurrence que :

n ∈N, n

k=0 uk =−

2

5 un+2−

4

5 un+1+

2

5 u1+

4

5 u0.

3. Caractériser géométriquement la composée den similitudes égales à s. En dé- duire l’expression de OMn en fonction de n.

Étudier lim n→+∞

OMn , lim n→+∞

xn , lim n→+∞

yn .

4. Calculer lim n→+∞

n

k=0 xk et lim

n→+∞

n

k=0 yk .

C

Soit σ l’application linéaire associée à s. On se donne un point mobile M(t) de co-

ordonnées (x(t) ; y(t)), de vecteurs vitesse et accélération −−−→ V (t) et

−−→ Γ(t) , tel que

V (t)=σ (−−−−−→ OM(t)

)

, ∀t .

On suppose que M(0) a pour coordonnées (1 ; 0).

1. Exprimer x′(t) et y ′(t) en fonction de x(t) et y(t).

Montrer que −−−→ Γ(t) =σ

(−−−→ V (t)

)

, ∀t .

2. Montrer que σσ (−→ v

)

+σ (−→ v

)

+ 1

2

−→ v = 0 pour tout vecteur

−→ v . (Utiliser A 2.)

En déduire que :

−−→ Γ(t) +

−−−→ V (t) +

1

2

−−−→ V (t) =

−→ 0 , ∀t .

3. Montrer que les fonctions t 7−→ x(t) et t 7−→ y(t) vérifient l’équation différen- tielle

f ′′+ f ′+ 1

2 f = 0.

4. Résoudre l’équation différentielle f ′′+ f ′+ 1

2 f = 0. Calculer

−−−→ V (0) .

Calculer x(t) et y(t) en fonction de t .

Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

2 juin 1984

Le baccalauréat de 1984 A. P. M. E. P.

5. Montrer que :

a ∈R, ∫a

0 x(t)dt = 2x′(0)+2x(0)−2x′(a)−2x(a) (Utiliser C 3.)

Calculer lim a→+∞

a

0 x(t)dt .

Calculer de même lim a→+∞

a

0 y(t)dt .

Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

3 juin 1984

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