Exercitations de mathématique 14, Exercices de Mathématiques Appliquées
Eusebe_S
Eusebe_S21 May 2014

Exercitations de mathématique 14, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercitations de mathématique - Polynésie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la nature du triangle, le repère orthonormal direct, les affixes des points de l’ensemble.
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Baccalauréat

Terminale S septembre 2009

Polynésie

1. Exercice 1

4 points

On considère le cube OABCDEFG d’arête de longueur 1 représenté ci-contre.

Il n’est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie.

Soient !es points P et Q tels que 2OP DA et 4OQ OC .

On appelle R le barycentre des points pondérés (B, −1) et (F, 2).

L’espace est muni du repère orthonormal  ; , ,O OA OC OD . 1. a. Démontrer que le point R a pour coordonnées (1 ; 1 ; 2).

b. Démontrer que les points P, Q et R ne sont pas alignés.

c. Quelle est la nature du triangle PQR ?

2. a. Démontrer qu’une équation du plan (PQR) est 4x + 2y + z − 8 = 0.

b. Vérifier que le point D n’appartient pas au plan (PQR).

3. On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (PQR).

a. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (DH).

b. Déterminer les coordonnées du point H.

c. Démontrer que le point H appartient à la droite (PR).

2. Exercice 2

4 points

Pour chaque question, deux propositions sont énoncées. Il s’agit de dire, sans le justifier, si chacune d’elles est vraie ou fausse. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la proposition et la mention VRAIE ou FAUSSE. Pour chaque question, il est compté 1 point si les deux réponses sont exactes, 0,5 point pour une réponse exacte et une absence de réponse et 0 point sinon.

Question A Proposition 1 Proposition 2

Une urne contient 4 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher.

On tire deux boules au hasard simultanément. On considère les évènements :

A : « les deux boules tirées sont de la même couleur » ;

B : « une seule des deux boules tirées est rouge ».

La probabilité de A

est égale à 3

7 .

La probabilité de

B est égale à 1

7 .

Question B Proposition 3 Proposition 4

Soient A, B et C trois évènements d’un même univers  muni d’une probabilité P.

On sait que : A et B sont indépendants ;

  2

5 P A  ;  

3

4 P A B  ;  

1

2 P C  ;  

1

10 P A C  .

  7

12 P B   

2

5 P A C  ,

A C désigne l’événement contraire de A C .

Question C Proposition 5 Proposition 6

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p n est égal à 4 et p appartient à ]0 ; 1[.

Si  1P X  

 8 0P X  , alors

2

3 p  .

Si 1

5 p  alors

 1P X

 0P X  .

Question D Proposition 7 Proposition 8

La durée de vie, exprimée en années, d’un appareil est modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi

exponentielle de paramètre 0,07  sur  0 ;  .

La probabilité que l’appareil ait une durée de vie supérieure à 10 ans est égale à 0,5 à 10−2 près.

Sachant que l’appareil a fonctionné 10 ans, la probabilité qu’il fonctionne encore 10 ans est

égale à 0,5 à 10−2 près.

3. Exercice 3 (corrigé)

5 points

Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal direct ( ; , )O u v , unité graphique 2 cm.

On appelle ( ) le cercle de centre O et de rayon 1.

On fera une figure que l’on complétera tout au long de l’exercice.

On appelle F l’application du plan Pprivé du point O dans Pqui, à tout point M différent de O, d’affixe z,

associe le point  'M F M d’affixe z’ définie par : 1

'z z i z

   .

1. On considère les points A et B d’affixes respectives a = i et 6 i

b e

 et leurs images A’ et B’ par F d’affixes respectives a’ et b’.

a. Calculer a’ et b’.

b. Placer les points A, A’, B et B’.

c. Démontrer que 3

' 3

b i

b b

 

 .

d. En déduire la nature du triangle OBB’.

2. On recherche l’ensemble (E) des points du plan Pprivé du point O qui ont pour image par F, le point O.

a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z, 2 3 1 3 1

1 2 2 2 2

z iz z i z i   

             

.

b. En déduire les affixes des points de l’ensemble (E).

c. Démontrer que les points de (E) appartiennent à ( ).

3. Soit  un réel.

a. Démontrer que si iz e alors  ' 2sin 1z i  .

b. En déduire que si M appartient au cercle ( ) alors M’ appartient au segment [AC] où C a pour affixe

i.

Correction

1. a.            2

1 1 2 2 2 3

i a a i i i i i i

a i i ;

    

               

6 6 1 1

2 sin 2 2 6 2

i i

b b i e i e i i i i i b

car  

 

 e e

sin 2

i i

i pour tout réel  .

b.

c.

            

             

 

2 3

6

1 3 1 3

e 2 2 2 2 1 1 3 33 1

1e 1 2 22 2

i

i

i i b b b

b b ib b i b ii iib

.

Alors

             

        

              

22

1 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 34 4 4 4

3 3 3 3

2 2

i i i i b

i b b

.

d. Comme  

    arg

b

b b est une mesure de l’angle  , BB BO et que 

 

b

b b est un imaginaire pur (d’après

la question précédente), alors   

 , 2

BB BO . Par conséquent, le triangle OBB est rectangle en B.

2. a. Soit z un nombre complexe.

                                         

         

                    

   

2

2

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 3 1 3 3 3 1

2 2 2 2 4 4 4 4

z i z i z i z i z i i

z i i z i i

  2 1z iz

Par conséquent, pour tout nombre complexe z,   

             

2 3 1 3 11 2 2 2 2

z iz z i z i .

b.  M z appartient à (E) équivaut à   0z , c’est-à-dire à    1

0z i z

. Or    1

0z i z

équivaut à

  

2 1 0

z iz

z , c’est-à-dire à   2 1 0z iz . D’après la question précédente, on en déduit que :

           

  

3 1 3 1 0

2 2 2 2 z i z i , soit

  

      

7

6 6 3 1 3 1

e ou e 2 2 2 2

i i

z i z i .

Par conséquent, les affixes des points de l’ensemble  E sont  

6 i

e et

7

6 i

e .

c. On sait que

  

 

7

6 6e 1 et e 1 i i

, c’est-à-dire les points de  E appartiennent à   .

3. a. Supposons que  eiz . Alors     

         1

e e e 2 sin e

i i i

i z i i i i . Par conséquent, si  iz e

alors    2sin 1z i .

b. Si M appartient au cercle   alors 1OM . D’où M a pour affixe  eiz où  est un réel. D’après la

question précédente,     2sin 1z i . Or pour tout réel  ,   1 sin 1 , d’où    1 2sin 1 3 .

Donc M se trouve sur l’axe des imaginaires purs et sa partie imaginaire est un réel de l’intervalle

 1 ; 3 , si M appartient au cercle   alors M’ appartient au segment  A C C a pour affixe i .

4. Exercice 4

7 points

Pour tout entier naturel n, on considère la fonction nf définie sur  0 ;  par :   lnnf x nx x x   .

On note (Cn) la courbe représentative de la fonction fn, dans un repère orthonormal ( ; , )O i j .

Les courbes (C0), (C1) et (C2) représentatives des fonctions f0, f1 et f2 sont données ci-dessous.

On rappelle que 0

lim ln 0 x

x x

 .

Partie A : Étude de la fonction f0 définie sur  0 ;  par  0 lnf x x x  .

1. Déterminer la limite de f0 en +∞.

2. Étudier les variations de la fonction f0 sur  0 ;  .

Partie B : Étude de certaines propriétés de la fonction fn, n entier naturel.

1. Démontrer que pour  0 ;x  ,  ' 1 lnnf x n x    où 'nf désigne la fonction dérivée de fn.

2. a. Démontrer que la courbe (Cn) admet en un unique point An d’abscisse 1ne  une tangente parallèle à

l’axe des abscisses.

b. Prouver que le point An appartient à la droite  d’équation y = x.

c. Placer sur la figure les points A0, A1, A2.

3. a. Démontrer que la courbe (Cn) coupe l’axe des abscisses en un unique point, noté Bn, dont l’abscisse

est ne .

b. Démontrer que la tangente à (Cn) au point Bn a un coefficient directeur indépendant de l’entier n.

c. Placer sur la figure les points B0, B1, B2.

Partie C : Calculs d’aires.

Pour tout entier naturel n, on considère le domaine du plan Dn délimité par l’axe des abscisses, la courbe

(Cn) et les droites d’équation 1nx e  et nx e .

On note In l’aire en unités d’aires du domaine Dn.

1. Hachurer sur la figure les domaines D0, D1, D2.

2. a. À l’aide d’une intégration par parties, calculer 1

1 ln

e

x xdx .

b. En déduire que 0 2 1 3

4 4 I

e   .

c. On admet que le domaine Dn+1 est l’image du domaine Dn par l’homothétie de centre O et de rapport

1

e . Exprimer I1 et I2 en fonction de I0.

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