Exercitations de physique mathématiques 1 - correction, Exercices de Physique des Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
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Eleonore_sa13 May 2014

Exercitations de physique mathématiques 1 - correction, Exercices de Physique des Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Exercitations de physique mathématiques sur la grêle - correction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la chute libre, la chute réelle.
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Exercice n°3 – LA GRELE

Amérique du nord 2005 CORRECTION

Exercice III – LA GRÊLE (4 points)

A – CHUTE LIBRE

A.1. Considérons comme système le grêlon dans un référentiel terrestre (supposé galiléen) en chute libre.

Il n’est soumis qu’à son poids.

Appliquons la deuxième loi de Newton : amP  

ou amgm o  

soit ago  

Par projection sur l’axe Oz vertical, il vient az = go

Or dt

d

za zv par intégration on obtient vz = go×t + v0z.

Le grêlon tombe sans vitesse initiale, soit v0z = 0 m.s–1 donc : vz = go×t

D’autre part dt dz

z v par intégration on a : z = ½ go×t² + z0.

Or à t = 0 s, le grêlon est en O , donc z0 = 0 m d’où : z = ½ go×t²

A.2. Quand le grêlon atteint le sol, alors z = h = 1500 m, exprimons la date t d'arrivée au sol :

h = ½ go×t² soit og

h t

2 

remplaçons t par son expression pour trouver la vitesse de chute : vh = go.t = o

o g

h g

2

150080,922v  oh gh = 171 m.s -1 = 617 km.h-1

Dans le texte, on nous dit que la vitesse d’un grêlon au sol peut atteindre 160 km/h, la valeur obtenue

avec ce modèle de chute libre, n’est pas vraisemblable.

B – CHUTE REELLE

B.1.   ²][v

][F K Or F = m.a en kg.m.s-2 et v en m.s-1

D’où   2

1

2 2

M.L.T M.L

L .T K

 

   K s’exprime en kg.m-1

B.2. FA = ×V×g0 =   3 3

4 r g0

FA = 80,93,110. 2

0,3

3

4 3

2  

  

   = 1,8.10-4 N

P = m×go = 13.10-3×9,80 = 0,13 N

Le poids du grêlon est environ 700 fois plus élevé que la poussée d’Archimède, on peut donc négliger

celle-ci devant le poids.

B.3.a. Appliquons la deuxième loi de Newton au grêlon, dans un référentiel terrestre (supposé galiléen).

Le grêlon est soumis à son poids et à la force de frottement fluide :

amFP   le poids est vertical dirigé vers le bas

la force de frottement est verticale dirigée vers le haut,

En projetant sur l’axe Oz vertical et dirigé vers le bas il vient : P – F = m×az

Soit : 2v v

 Kgm dt

d m o

ou 2v v

 m

K g

dt

d o L’équation différentielle obtenue est bien de la forme

2v. v

BA dt

d 

avec A = go et B = K / m

B.3.b.ai = A – B×vi2 a4 = A – B×v42 = 9,80 – 1,56.10-2×17,2² = 5,18 m.s-2

vi+1 = vi + ai×t v5 = v4 + a4×t = 17,2 + 5,18×0,5 = 19,8 m.s-1

B.3.c. Quand la vitesse limite est atteinte alors celle-ci est constante et 0 v 

dt

d

0v2lim  BA  

2lim 1056,1

80,9 v

B

A 25 m.s-1

B.3.d. On trace l’asymptote à la courbe :

vlim =

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