Exercitations de physique mathématiques 5 - correction, Exercices de Physique des Mathématiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa13 mai 2014

Exercitations de physique mathématiques 5 - correction, Exercices de Physique des Mathématiques

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Exercitations de physique mathématiques sur la science et le sport - correction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Saut du plongeur, Mouvement dans l’eau.
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Exercice III Oscillateur mécanique horizontal 4 pts

Pondichéry 2007 EXERCICE III. OSCILLATEUR MÉCANIQUE HORIZONTAL (4 points)

Un pendule élastique est constitué d'un mobile de masse m = 80 g pouvant se déplacer sur un banc à coussin d'air horizontal. Ce mobile est attaché à un point fixe par un ressort de masse négligeable à spires non jointives, de raideur k. La position du mobile est repérée par l'abscisse x

sur l'axe (O, i ). A l'équilibre, la position du centre d'inertie G coïncide avec le point O,origine des abscisses. III.1 Etude de l'oscillateur parfait (non amorti) Dans cette partie, on considère que le mobile n'est soumis à aucune force de frottement.

III.1.a – Indiquer l'expression vectorielle de la force F de rappel du ressort en fonction de

l'abscisse x du centre d'inertie du mobile et de i vecteur unitaire. III.1.b – Faire l'inventaire des forces qui s'exercent sur le mobile. Reproduire le schéma ci-dessus et

représenter ces forces. III.1.c – A l'aide de la deuxième loi de Newton, établir l'équation différentielle du mouvement

(relation entre l'abscisse x(t) et ses dérivées par rapport au temps). lll.1.d – Un dispositif d'enregistrement de la position x du mobile permet de mesurer la valeur T0

de la période du mouvement : T0 = 0,20 s. Quelle est la valeur numérique de la raideur k

du ressort sachant que T0 = 2 m

k ?

O

Schéma 3

i

G

x x

III.2 - Etude de l'oscillateur avec amortissement Le dispositif est modifié et les frottements deviennent plus importants. L'équation différentielle du

mouvement a maintenant l'expression suivante : a + .v + .x = 0

a = d x

dt

²

² est l'accélération de G, v =

dx

dt sa vitesse.

III.2. a - A l'aide de l'analyse dimensionnelle, déterminer les unités de  et  dans le système international (S.I.).

On a pu déterminer que  = 60 S.l. et  = 1,00.103 S.l. III.2. b - La méthode numérique itérative d'Euler permet de résoudre cette équation différentielle.

Un extrait de feuille de calcul pour cette résolution est représenté ci-après :

Indice t, a, v, x

Instant t (s)

Accélération a (m.s-2)

Vitesse v (m.s-1)

Abscisse x (m)

00,00-30,00,000,03010,01-9,0-0,300,02720,020,3-0,390,02330,034,0-0,390,01940,045,1-0,350,01650,055,0-0,300,01360,064,5-0,250,01070,07 a7 -0,200,00880,08 v8 x8

Calculer la valeur numérique de l'accélération a7 à l'instant t7 = 0,07 s à l'aide de l'équation différentielle.

III.2. c - Calculer les valeurs de la vitesse v8 et de l'abscisse x8 à l'instant t8 = 0,08 s en utilisant la

méthode d'Euler. III.2. d - Tracer la courbe donnant l'abscisse x en fonction du temps sur le papier millimétré à

rendre avec la copie. Echelles : 1 cm pour t = 0,01 s et 1 cm pour x = 0,002 m.

III.2. e - Quels sont les noms des deux régimes possibles d'un oscillateur ?

La courbe précédente permet-elle d'affirmer dans quel régime se trouve l'oscillateur étudié ?

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