Géométrie algorithmique – exercices – 15, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 15, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 15. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la construction géométrique de L, le centre du carré ADHE.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Pondichéry juin 1991 \

EXERCICE 1 4 points

Soit O un point du plan orienté. À chaque point M du plan on associéé le point G défini de la façon suivante :

– SiM est en O,G est en O ; – SiM est distinct de O, on considère le triangle OMM ′ rectangle en M tel que :

á(−−−→ OM ,

−−−→ OM

) =

π

4 .

Le point G est alors le centre de gravité du triangle OMM ′.

1. Montrer que si M est distinct de O,

a. cos á(−−−→

OM , −−→ OG

) =

2 p 5

5 ,

b. sin á(−−−→

OM , −−→ OG

) =

p 5

5

c. OG

OM =

p 5

3 .

2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de la transformation S du plan qui à chaque point M associeG.

3. Soit D une droite ne passant pas par O. On suppose que M décrit D.

a. Quel est le lieu L du pointG quand M décrit D ?

b. Indiquer une construction géométrique de L.

EXERCICE 2 4 points

+

A B

C D

E F

GH

I

K

Soit le cube ABCDEFGH représenté par la figure ci-dessus.

L’espace est orienté par le repère orthonormal direct ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

On désigne par I le milieu de [EF] et par K le centre du carré ADHE.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. a. Vérifier que −−→ BK =

−→ IG ∧

−→ IA .

b. En déduire l’aire du triangle IGA.

2. Calculer le volume du tétraèdre ABIG et en déduire la distance du point B au plan AIG

PROBLÈME 4 points

Le plan est rapporté au repère orthonormal R = ( O,

−→ ı ,

−→

) (unité graphique 2 cm).

Soit f la fonction définie sur R par :

f (x)= ex−1−1.

Le but du problème est de trouver une approximation de l’une des solutions de l’équation f (x)= x. Les parties B et C sont indépendantes.

A.

On se propose d’étudier la fonction f et les solutions de l’équation f (x) = x

1. Établir le tableau de variation de f et tracer sa courbe représentative C dans le repère R.

2. On pose ϕ(x)= f (x)− x. a. Déterminer la limite de ϕ(x) lorsque x tend vers +∞. b. Dresser le tableau de variation deϕ et démontrer que l’équation ϕ(x)= 0

admet deux solutions qu’on notera a et b (a < b). c. En déduire que l’équation f (x)= x admet comme seules solutions a et b

et établir que : 2< b < 5

2 .

B.

On se propose d’étudier une méthode d’approximation du nombre b .

Pour ce faire on introduit les deux suites (un )n>0 et (vn)n>0 définies comme suit :

u0 = 2 ; v0 = 5

2 et pour tout entier n> 1 :

Si ϕ (un−1+ vn−1

2

) > 0, alors un =un−1 et vn =

un−1+ vn−1 2

,

Si ϕ (un−1+ vn−1

2

) > 0, alors un =

un−1+ vn−1 2

et vn = vn−1.

1. Calculer u1, v1, u2, v2.

2. Soit I =

[ 2 ;

5

2

] . Montrer en raisonnant par récurrence que pour tout entier

naturel n, un et vn sont éléments de I.

3. En utilisant le tableau de variation de la fonction ϕ sur l’intervalle I et en rai- sonnant par récurrence, montrer que (un ) est majorée par b et que (vn) est minorée par b.

4. Établir que la suite (un ) est croissante et que la suite (vn) est décroissante. Que peut-on en conclure ?

5. Démontrer par récurrence que :

vn un = ( 1

2

)n+1 .

6. Montrer que les deux suites (un )n>0 et (vn)n>0 convergent vers b.

Pondichéry 2 juin 1991

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

7. Déterminer un entier positif p, tel que vp soit une valeur approchée à 10−1

près par excès de b. Calculer vp .

C.

On se propose d’étudier une autre méthode d’approximation du nombre b .

Soit la fonction g définie sur I= [ 2 ;

5

2

] par :

g (x)= ln(x+1)+1.

1. Montrer que, sur I, l’équation f (x)= x équivaut à l’équation g (x)= x. 2. a. Démontrer que, pour tout élément x de I, g (x) appartient à I.

b. Montrer que pour tout élément x de I : 06 g ′(x)6 1

3 .

c. En déduire que, pour tout élément x de I :

|g (x)−b|6 1

3 |xb|.

3. Soit (wn)n>0 la suite d’éléments de I définie par :

w0 = 2 et pour tout entier n> 1, wn = g (wn−1) .

a. Établir que pour tout n> 0 :

|wn b|6 1

2

( 1

3

)n .

En déduire la limite de (wn).

b. Déterminer un entier q tel que wq soit une valeur approchée de b à 10−2

près par défaut. Calculer wq .

4. Comparer le nombre de pas respectifs à effectuer pour obtenir une valeur ap- prochée de b à la précision 10−8, pour la méthode du B et pour la méthode du C.

Pondichéry 3 juin 1991

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