Géométrie algorithmique – exercices – 4, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 4, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 4 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation cartésienne, l’étude des variations d’une fonction.
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[ Baccalauréat C Amérique du Sud novembre 1988 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Dans le plan P on considère le triangle équilatéral ABC. On pose AB = BC = CA = a, a > 0.

1. Construire le point G barycentre du système (A, 2), (B, 1), (C, 1).

2. Déterminer et construire chacun des deux ensembles suivants :

a. E1 = {

M ∈P /2MA2+MB2+MC2 = 2a2 }

.

b. E2 =

{

M ∈P /2 −−→ MA 2+

−−→ MA ·

−−→ MB +

−−→ MA ·

−−→ MC =

3a2

2

}

.

Pour ce dernier ensemble, on pourra utiliser le point G puis le milieu I du segment [AG].

EXERCICE 2 6 POINTS

Dans le plan P muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v )

un point M quel-

conque de coordonnées (x ; y) a pour affixem,m ∈ C ; on note |m| le module dem etm le conjugué dem.

1. On considère la courbe E dont une équation cartésienne dans P est :

x2+5y2 = 1.

Déterminer la nature géométriquedeE et ses éléments caractéristiques (centre, axes, sommets).

Tracer E dans le plan P (unité : 6 cm).

2. SoitΩ l’application de P dans P qui, à tout point M d’affixem, associe M′ d’af- fixeω(m) définie par :

ω(m)= |m|+ (

mm )

.

On note E′ l’image de E parΩ.

a. Calculer les coordonnées x′ et y ′ de M′ en fonction de x et y , coordon- nées deM.

Calculer |w(m)|2 en fonction de x et y , en déduire que E est l’ensemble des pointsMdeP tels que |w(m)| = 1 et queE′ est contenuedans le cercle C de centre O et de rayon 1.

b. Soit le point M′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

.

Montrer que M′ admet un ou deux antécédents par Ω si et seulement si les coordonnées deM′ vérifient les deux relations : x′ > 0 et ∣

y ′ ∣

∣6 2x′, caractériser géométriquement l’ensemble S ′ de ces pointsM′ ; en déduire que E′ est un arc du cercleC que l’on précisera .

PROBLÈME 10 POINTS

Les objectifs de ce problème sont l’étude des variations d’une fonction g et la construc- tion de sa courbe représentativeΓ.

Partie A

Le baccalauréat de 1989 A. P. M. E. P.

1. Soit la fonction

f1 : R∗+ → R x 7−→ x+1+ lnx.

On note Λ la courbe représentative de la fonction définie dans R∗+ par :

x 7−→ lnx dans le plan rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

a. Étudier les variations (sens de variations et limites aux bornes) de f1 et déterminer le signe de f1(x) suivant les valeurs de x dans R∗+ (on mon- trera en particulier que f1 s’annule en changeant de signe en un unique point x0 de R∗+) ;

b. Soit∆ la droite d’équation cartésienne x+y+1 = 0 ; tracer∆ etΛ (unité de longueur : 2 cm) ; vérifier que x0 (voir a.) est l’abscisse de l’unique point d’intersection de ∆ et Λ.

2. Soit la fonction

f2 : R∗+ → R x 7−→ 2x lnxx2+1,

étudier le sens de variations de f ′2 et de f2. (On ne demande pas l’étude du comportement de ces fonctions lorsque x tend vers 0 et lorsque x tend vers +∞.)

Calculer f2(1) et en déduire le signe de f2(x) suivant les valeurs de x dans R∗+.

Partie B

Soit g : R+ →R la fonction définie par 

g (0) = 0 et

g (x) = x lnx

x+1 pour tout x ∈R∗+.

On note Γ la courbe représentative de g dans le plan et D la tangente à Γ au point d’abscisse 1.

1. a. Montrer que g est continue sur R+ ; déterminer, si elle existe, la demi- tangente à Γ au point d’abscisse 0.

b. Étudier les variations de g , en utilisant A 1. a. ; vérifier que g (x0)=−x

2. Étudier les positions relatives de Λ et Γ. Soient M et M′ les deux points de Λ

et Γ demême abscisse x ; quelle est la limite deM′M lorsque x tend vers +∞ ? Interpréter géométriquement ce résultat.

3. En utilisant A 2., étudier la position relative de Γ par rapport à D.

4. Tracer D et Γ sur le graphique de A 1.

Amérique du Sud 2 novembre 1988

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