Géométrie algorithmique – exercices – 9, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Géométrie algorithmique – exercices – 9, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie algorithmique – exercices – 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan complexe, la distance PM.
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[ Baccalauréat C Métropole septembre 1988 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

.

θ désigne un nombre réel de l’intervalle ]−π ; +π[. Pour tout θ on définit le nombre complexe

z(θ)= 1

2

(

1+eiθ )2 .

1. Calculer (

1+eiθ )

e−i θ

2 , en déduire que le nombre complexe (

1+eiθ )

a pour ar-

gument θ

2 .

Calculer le module et l’argument de z(θ).

Représenter dans le plan complexe z(θ).

2. Soit M le point d’affixe z(θ) et A le point d’affixe 1. On projette orthogonale- ment A en P sur la droite (OM).

Quel est l’ensemble des points P quand θ varie dans ]−π ; +π[ ?

3. Calculer la distance PM. On séparera les cas

θ

[

π

2 ; π

2

]

et θ ∈ ]

π ; − π

2

[

]

π

2 ; π

[

.

4. Donner une construction géométrique de l’ensemble des points M (construc- tion point par point).

EXERCICE 2 4 POINTS

On considère dans le plan (P) un cercle de diamètre [OB). Soit A un point du segment [OB], distinct de O et de B, I le milieu de [AB]. La médiatrice du segment [AB] coupe le cercle en M et M′ tels qu’une mesure de

l’angle (

−−→ MO ,

−−→ MB

)

soit + π

2 Soit N la projection orthogonale de A sur (OM).

O A

B I

M

N

M′

+

1. Donner la nature du quadrilatère AMBM′. En déduire que la droite (AM′) est orthogonale à (OM) et que N, A et M′ sont alignés.

2. On appelle S la similitude directe de centre N, telle que S(M) = A.

Préciser l’angle de cette similitude. Déterminer les images par S des droites (MI) et (NA). En déduire l’image par S du point M′.

Le baccalauréat de 1989 A. P. M. E. P.

3. Montrer que l’image par S de I est le point I′, milieu de [OA]. En déduire que la droite (NI) est tangente en N au cercle de diamètre [OA].

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

1. On considère la fonction polynôme P définie pour tout x réel par :

P (x)= 2x3−3x2−1.

a. Étudier les variations de P .

b. Montrer que l’équation P (x) = 0 admet une racine réelle et une seule α, et que α appartient à l’intervalle ]1,6 ; 1,7[.

2. Soit D l’ensemble des réels strictement supérieurs à −1.

On considère la fonction numérique f définie sur D par :

f (x)= 1− x

1+ x3 .

On désigne par (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (on prendra comme unité 4 cm).

a. Étudier les variations de f (on utilisera pour cela les résultats du 1.

b. Écrire une équation de la droite (∆) tangente à la courbe (C ) au point d’abscisse 0. Étudier la position de la courbe (C ) par rapport à la droite (∆) dans l’intervalle ]−1 ; +1[.

c. Montrer que la courbe (C ) est située au-dessus de sa tangente au point d’abscisse 1.

Tracer la courbe (C ), la droite (∆) et la tangente à (C ) au point d’abscisse 1.

3. a. Déterminer trois réels a, b, c, tels que pour tout x dans l’ensemble de définition de f on ait :

f (x)= a

x +1 +

bx +c

x2− x +1 .

b. x étant un nombre réel positif, justifier l’existence de l’intégrale :

F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

et la calculer.

c. Calculer F (1) et interpréter ce nombre à l’aide d’une aire.

Partie B

On désigne parN l’ensemble des entiers naturels. On considère la suite numérique

(

up )

p∈N définie, pour tout entier naturel p de N,

par :

up = (−1)p

(3p +1)(3p +2) ,

puis la suite (Sn)n∈N définie, pour tout n ∈N, par

Sn = u0+u1+·· ·+up +·· ·+un .

Métropole 2 septembre 1988

Le baccalauréat de 1989 A. P. M. E. P.

1. Montrer que pour tout entier naturel p, on a

∫1

0 t3p(1− t)dt =

1

(3p +1)(3p +2) .

2. a. Montrer que

Sn =

∫1

0 (1− t)

1− (

t3 )n+1

1+ t3 dt .

b. On pose

I =

∫1

0

1− t

1+ t3 dt

Montrer que

I Sn = (−1) n+1

∫1

0

t3

1+ t3 [

t3n(1− t) ]

dt .

Donner sur [0 ; 1] unmajorant de t3

1+ t3 et en déduire, en utilisant le B 1.,

que :

|I Sn |6 1

9n2 .

3. Montrer que la suite (Sn)n∈N est convergente et que sa limite est 2

3 ln2.

Métropole 3 septembre 1988

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