Géométrie - exercices 1, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie - exercices 1 sur la fonction réelle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le paramètre réel, le plan vectoriel euclidien.
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[ Baccalauréat C Dakar juin 1972 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction réelle, de variable réelle, qui à x associe f (x) défini par

f (x)= Log (Log x),

où Log x représente le logarithme népérien de x.

1. Étudier cette fonction et tracer sa représentation graphique dans un repère orthonormé.

(Indication : Pour étudier lim x→+∞

f (x) on pourra poser Log x = y .)

2. Peut-on définir la fonction réciproque, f −1, pour toutes les valeurs de x ? Défi- nir cette fonction et tracer sa représentation graphique dans le même repère.

EXERCICE 2

Soit λ un paramètre réel.

1. Discuter, suivant les valeurs de λ, la nature de la courbe qui a pour équation, en axes rectangulaires,

y2+λx2+ (λ+1)x λ

4 = 0.

2. Donner, le cas échéant, les coordonnées de son centre de symétrie et les équa- tions de ses asymptotes.

PROBLÈME

Soit (E ) le plan vectoriel euclidien et soit f l’application de (E ) dans (E ) qui au vec-

teur −→ v (x ; y) associe le vecteur

−→ V (X ; Y ) de la façon suivante :

(

X

Y

)

= (

a c

b d

)(

x

y

)

a,b,c et d sont des coefficients réels tels que bd 6= 0.

Partie A

1. Soit m R⋆+ . Quelles conditions les coefficients a,b,c,d doivent-ils vérifier de façon que, pour tout

−→ v ∈ (E ), on ait

f (−→

v )∥

∥= m

−→ v

(on note ‖vect v‖ la norme du vecteur vect v) ? Montrer que, si ces conditions sont réalisées, f est un automorphisme de (E ) [c’est-à-dire une application linéaire et bijective de (E ) dans (E )].

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Soit m = 1+ t2, où t est un nombre réel. On pose

a = 1− t2 et c =−2t .

Déterminer b et d de façon que, pour tout −→ v ∈ (E ),

f (−→

v )∥

∥= m

−→ v

∥ .

On obtient ainsi deux applications, f1 et f2. Nous appellerons f1 celle pour laquelle b b et c sont de signes contraires.

Partie B

1. Soit −→ v ∈ (E ). On pose f1

(−→ v

)

= −→ V1 et f2

(−→ v

)

= −→ V2 avec

−→ v

(

x

y

)

, −→ V1

(

X1 Y1

)

, −→ V2

(

X2 Y2

)

Soit z,Z1 et Z2 les nombres complexes suivants :

z = x + iy, Z1 = X1+ iY1 et Z2 = X2+ iY2′2

On définit ainsi deux applications, ϕ1 et ϕ2 de C dans C (C est l’ensemble des nombres complexes) par

ϕ1(z)= Z1 et ϕ2(z)= Z2

Montrer qu’il existe un nombre complexe fixe, ξ, tel que ϕ1(z)= Z1 = ξz. Exprimer alors ϕ2(z) = Z2 en fonction de ξ et de z. Quelle relation existe-t-il entre Z1 et Z2 ?

2. On pose t = tgα. a. Déterminer ξ par son module et son argument.

b. Quelle est, suivant la valeur de α, la nature des applications f1 et f2 ?

c. Comment doit-on choisir z pour que ϕ1(z)=ϕ2(z) ?

Partie C

Dans le plan complexe, M est l’image de z, M1 celle de Z1, M2 celle de Z2 et A celle de Z0 =

p 3+ i.

1. Lorsque M décrit le cercle de centre A et de rayon R, définir géométriquement la courbe (C1) décrite par M1 et la courbe (C2) décrite par M2.

2. Comment doit-on choisir α et t pour que (C1) et (C2) soient confondues ?

Dakar 2 juin 1972

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