Géométrie - exercices 2, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie - exercices 2 sur les équations. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la décomposition en facteurs premiers, l’étude de la famille de courbes.
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[ Baccalauréat C Départements d’Outremer \ juin 1972

EXERCICE 1

Résoudre dans R les équations suivantes : (1) Log (x+3)+Log (x+2)= Log (x+11), (2) Log

(

x2+5x+6 )

= Log (x+11),

(3) Log (−x−2)= Log

(

x−11

x+3

)

,

(4) Log (x+2)= Log (−x−11)−Log (x+3).

EXERCICE 2

Soit N un entier naturel dont la décomposition en facteurs premiers est ...

1. Démontrer que la somme σ(N ) des diviseurs de N est

σ(N )= (

1+a+ . . .+)

(

1+b+ ...+)

(

1+c+ ...+)

.

Appliquer ce résultat au nombre 175.

2. Un entier, N , est dit parfait si

σ(N )= 2N .

Montrer que si 2n −1 est premier, l’entier N = 2n−1 (2n −1) est parfait.

EXERCICE 2

Ce problème a pour but l’étude de la famille de courbes (Cm ) d’équation

(

m2−1 )

y2−2mxy + x2+2y +3= 0.

Le repère initial (

O, −→ ı ,

−→

)

est un repère orthonormé.

Ce problème se décompose en trois parties A, B et C indépendantes et pouvant

être traitées par le candidat dans l’ordre qui lui conviendra. Toutefois, il serait bon

de commencer par A.

Partie A

1. Cas particuliers :m =+1 etm =−1.

Écrire les équations de (C1) et de (C−1) sous la forme

y = ax+b+ c

mx−1

(a,b et c étant des nombres réels à déterminer).

Étudier succinctement et représenter sur un même graphique, tracé dans le

plan rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, les courbes (C1) et (C−1). (On

pourra choisir comme unité de longueur 2 cm et l’on emploiera des couleurs distinctes pour chacune des courbes.)

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Étude du cas :m = 0

Démontrer qu’il existe un repère (

ω, −→ ı ,

−→

)

par rapport auquel la courbe (C0)

a une équation de la forme y2 X2

X 2

a2 − Y 2

b2 = 1.

Tracer la courbe (C0).

3. Démontrer que les trois centres de symétrie,Ω−1 ,Ω0 etΩ1, des courbes (C−1) , (C0) et (C1) appartiennent à une droite (D), dont on précisera l’équation par rap-

port au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie B

On considère maintenant (

O, −→ I ,

−→ J

)

défini par

−→ I =

−→ ı et

−→ J =m

−→ ı +

−→ .

Démontrer que, pour toutm, (

O, −→ I ,

−→ J

)

peut être pris comme nouveau repère.

On désigne par X et par Y les nouvelles coordonnées d’un point M de (Cm) dans le

repère (

O, −→ I ,

−→ J

)

.

Quelle forme l’équation de (Cm ) prend-elle alors, dans ce nouveau repère ? En s’inspirant du A 2. en déduire la nature de la famille des courbes (Cm ). Quelles sont alors les coordonnées de leur centre de symétrie,Ωm dans ce nouveau repère ? Démontrer queΩm appartient à la droite (D) (considérée dans la question 3. du A.

Partie C

Soit O′m le point de coordonnées (m ; 1) dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

1. Former l’équation de la famille (Cm) dans le repère (

O′m , −→ ı ,

−→

)

.

2. Vérifier que

(

C√ 3 2

)

a pour équation, dans le repère

(

O′√ 3 2

, −→ ı ,

−→

)

Y 2−2 p 6XY +2X 2+8= 0.

3. Soit f l’application qui, à tout point M du plan de coordonnées (x ; y), dans

le repère

(

O′√ 3 2

, −→ ı ,

−→

)

, fait correspondre le pointM ′ de coordonnées (

x′ ; y ′ )

telles que

{

x′ = 2x− p 6y,

y ′ = − p 6x+ y.

Soit (D1) la droite définie par le point O′√ 3 2

et le point U1 de coordonnées

( √

2 5 ;

3 5

)

et (D2) la droite définie par le point O′√ 3 2

et le point U2 de coordon-

nées (

− √

3 5 ;

2 5

)

Démontrer que les droites (D1) et (D2) sont globalement

invariantes par l’application f .

Soit

−→ V1 =

−−−−−−→ O′√

3 2

U1 et −→ V2 =

−−−−−−→ O′√

3 2

U2 ;

former l’équation de

(

C√ 3 2

)

dans le repère

(

O′√ 3 2

, −→ V1 ,

−→ V2

)

.

Départements d’Outremer 2 juin 1972

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