Géométrie - exercices 4, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Géométrie - exercices 4, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie - exercices 4 sur le nombre complexe conjugué du nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le tableau de variations, la dérivée de l’application de R dans R.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Djibouti \ juin 1972

EXERCICE 1

On donne la fonction f , telle que

f (x)= x sinx et x ∈ [

0 ; π

2

]

1. Montrer que f admet une fonction réciproque, f −1.

2. Étudier la dérivabilité de f et calculer la dérivée de f lorsqu’elle existe.

3. Étudier la dérivabilité de f −1 et calculer la dérivée de f −1 lorsqu’elle existe.

4. Construire sur un même graphique, le repère étant orthonormé, les courbes représentatives de f et de f −1.

EXERCICE 2

On rappelle que l’ensemble, S, des suites réelles est un espace vectoriel surR. On no- tera (Un) une suite etUn , n ∈N, le terme de rang n+1 de la suite (Un). On considère l’ensemble (E ) des suites (Un) vérifiant la relation R :

Un = 5Un−1−6Un−2, ∀n ∈N− {0, ; 1}.

1. Montrer que (E ) est un sous-espace vectoriel de S.

2. On donne la suite géométrique (Un) telle que Un = r n . Montrer qu’il existe deux valeurs de r telles que la suite géométrique correspondante soit élément de (E ). On notera ces deux suites (an) et (bn ).

3. Soit (Un)∈ E . Montrer qu’il existe α et β réels, tels que

{

U0 = αa0+βb0 U1 = αa1+βb1

Montrer queUn =αan +βbn , ∀n ∈N. En déduire une base de (E ).

PROBLÈME

Notations et questions préliminaires

Si f est une application, on notera f 2 l’application composée, f f , et f 3 l’applica- tion composée f f f . (E) est un plan vectoriel euclidien et (P) est un plan affine euclidien associé à (E). Les points O, A, B et C, sont des points de (P) tels que, dans un repère orthonormé, les coordonnées de O sont (0 ; 0), de A(1 ; 0), de C(0 ; −1) et de B(−1 ; 1). On note

−−→ OA = a,

−−→ OB = b et

−−→ OC = c.

Représenter les points 0, A, B et C sur une figure.

Montrer que les systèmes {

−→ a ,

−→ b

}

et {

−→ b ,

−→ c

}

sont deux systèmes libres.

Partie A

1. f est une application linéaire de (E) dans (E) telle que f (

−→ a

)

= −→ b et f

(

−→ b

)

= −→ c .

Montrer que le sous-ensemble {

−→ a ,

−→ b ,

−→ c

}

est invariant par f .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Montrer que f 3 = I [O étant l’application identique de (E)].

3. f est-elle bijective ?

4. Existe-t-il des vecteurs invariants par f ? Existe-t-il des droites vectorielles in- variantes par f ?

Partie B

g est l’application affine de (P) dans (P), associée à f et laissant O invariant :

M ′ = g (M) ⇐⇒ OM ′ = f (OM).

1. Montrer qu’une droite a pour image, par g , une droite.

Quel est la transformée de la droite (AB) ; de la droite (BC) ?

Existe-t-il des droites parallèles à leur transformée ?

2. Soit R le repère (

O, −→ a ,

−→ b

)

du plan affine (P).

Soit (x ; y) les coordonnées deM dans le repèreR et (

x′ ; y ′ )

celles deM ′ dans ce repèreR, avec M ′ = g (M). x = y’-

Montrer que

{

x = y ′− x

y = −x′.

3. Montrer que, si une courbe admet O comme centre de symétrie, sa transfor- mée par g admet aussi O comme centre de symétrie.

Partie C

Soit (C ) une courbe admettant O comme centre de symétrie, passant par les trois points A, B et C et dont l’équation dans le repère R est de la forme

αx2+βy2+γxy +δx+ǫy +ϕ= 0,

α, β, γ, δ, ǫ et ϕ étant des nombres réels.

1. Montrer que, puisque (C ) admet O comme centre de symétrie, on a δ= ǫ= 0.

En déduire l’équation de (C ).

2. Former, enutilisant le B 2., l’équation de (C ′ ), transforméede (C ) par g . Pouvait- on prévoir le résultat ?

3. Pour déterminer la nature de (C ), on choisit un repère R′ = (

O, −→ ı ,

−→ b

)

, avec −→ ı =

−→ a

−→ c .

Calculer −→ ı en fonction de

−→ a et de

−→ b , puis les coordonnées (x ; y) d’un point

M dans. le repèreR en fonction de ses coordonnées (X ; Y ) dans le repèreR′.

En déduire l’équation de (C ) dans le repère R′ et sa nature. Construire la courbe (C ).

Djibouti 2 juin 1972

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