Géométrie - exercices 5, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Géométrie - exercices 5, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie - exercices 5 sur les courbes représentatives de f. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Notations et questions préliminaires, les suites réelles, l’application composée.
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[ Baccalauréat C Étranger groupe I 1 juin 1972 \

EXERCICE 1

Calculer l’intégrale

I =

∫2

0 [1−|x−1|]3 dx.

EXERCICE 2

Démontrer que, si trois nombres entiers relatifs, x, y et z, sont tels que la somme x3+ y3+ z3 est divisible par 3, alors la somme x+ y + z est aussi divisible par 3. Démontrer que si x3+y3+z3 est divisible par 9, alors l’un aumoins des trois nombres x, y et z est divisible par 3.

PROBLÈME

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’axes Ox et Oy ; a est un

nombre réel fixe,ϕ est un nombre réel qui jouera le rôle de paramètre, mais on sup- pose vérifiée, tout au long du problème, la condition sin(ϕa) 6= 0.

Partie A

1. Démontrer que les formules

(1)

{ (

xx′ )

sinϕ = (

y y ′ )

cosϕ, (

x+ x′ )

sina = (

y + y ′ )

cosa,

déterminent une application,duplandans lui-même, qui, aupointM(x ; y), associe le point M

(

x′ ; y ′ )

.

Déterminer les expressions de x′ et de y ′ en fonction de x et de y .

Démontrer que est involutive.

2. Démontrer quelaisse invariants une infinité depoints et que leur ensemble, (∆), ne dépend pas de ϕ.

3. Lorsque a etϕ sont fixés, quel est l’ensemble desmilieux des segments [MM ′ ] ?

Partie B

1. Quelle est la nature géométriquede? Interpréter géométriquement les deux nombres a et ϕ.

2. P est un point fixe n’appartenant pas à (∆) ; Pϕ est son transformé par ; a restant fixe etϕprenant toutes les valeurs compatibles avec la condition posée sin(ϕa) 6= 0, déterminer l’ensemble des points Pϕ.

Partie C

On suppose désormais a = π

2 ; et l’on appelle F l’ensemble des ; on pose tg ϕ= λ

et = θλ. On note θβ θα la composée de θα par θβ.

1. Centres du Bassin méditerranéen et de l’Afrique Noire

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Montrer que l’application composée θλ3 ◦θλ2 ◦θλ1 de trois éléments de F est un élément θµ de F ; on calculera µ en fonction de λ1, λ2 et λ3.

2. Montrer que le composé d’un nombre impair d’éléments de F est un élément de F , que l’on précisera.

3. Démontrer que le composé d’un nombre pair d’éléments de F est, d’une infi- nité de manières, le composé de deux éléments de F .

4. Démontrer que les composés d’éléments de F forment un groupe ; en indi- quer un sous-groupe isomorphe au groupe additif des nombres réels.

Étranger groupe I 2 juin 1972

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