Géométrie - exercices 9, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Géométrie - exercices 9 sur l’écriture en base. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le logarithme népérien, la construction géométrique.
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[ Baccalauréat C Lyon juin 1972 \

EXERCICE 1

Les nombres x, y et z étant trois entiers naturels, on suppose que l’écriture en base x de y est 131, que l’écriture en base x de z est 101.

1. Montrer que l’on peut, sans connaître x, exprimer, dans le système de base x, le produit xyz.

2. Sachant que, de plus, la somme x + y + z est égale, dans le système décimal, au nombre 50, déterminer, dans le système décimal, le nombre x et le produit xyz.

EXERCICE 2

Soit n un entier naturel strictement positif. On considère la fonction numérique f de la variable réelle x qui à x associe

f (x)= Log x

xn

(Log x désigne le logarithme népérien de x).

1. Étudier le sens des variations de la fonction f .

Tracer, pour n = 2, sa courbe représentative.

2. Soit a un nombre réel strictement supérieur à 1 ; calculer

g (a)= ∫a

1

Log t

t2 dt .

PROBLÈME

On donne un nombre réel a strictement positif et un plan affine euclidien (P), rap-

porté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

. À tout point, M , de coordonnées (x ; y)

dans ce plan, on associe le nombre complexe z = x + iy , que l’on appelle affixe de M . Soit A, et A′ les points d’affixes respectives a et −a. Soit (P⋆) le plan (P) privé du point A. On définit l’application, T , de (P⋆) dans (P), qui, à chaque point M ∈ (P⋆), associe le point M ′ tel que

−−→ AM ·

−−−−→ MM ′ = 0

et −−→ AM et

−−−→ A′M ′ appartiennent à la même droite vectorielle.

( −−→ AM ·

−−−−→ MM ′ désigne le produit scalaire des vecteurs

−−→ AM et

−−−−→ MM ′ .)

Partie A

1. Donner une construction géométrique deM ′ à partir deM .

Construire les images des points,M1 etM2 d’affixes respectives 2a+ia et 2a, et celle d’un point arbitraire, M33 du cercle de diamètre [AA′] (M3 étant distinct de A).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Soit z ′ = x′+ iy ′ l’affixe de M ′ = T (M). Calculer x′ et y ′ en fonction de x et de y . Montrer que, si z = x− iy est le nombre complexe conjugué de z, on a

z ′ = z(za)

za .

Comparer les modules de z et de z ′.

3. Déterminer les points de (

P⋆ )

qui sont invariants par T .

Quelle est l’image par T d’un cercle de centre O et de rayon R ? (On devra dis- tinguer le cas exceptionnel où R = a.) L’application T est-elle injective ?

Partie B

On donne un point M0 de (

P⋆ )

, non situé sur la droite (AA′) ni sur le cercle de dia- mètre [AA′]. On désigne son affixe par z0 et le module de cette affixe par R tel que R = |z0|. À partir deM0, on construit la suite des pointsM1 ,M2, . . . ,Mn , . . . d’affixes z1,z2, . . . ,zn , . . ., telle que, pour tout entier naturel n, on ait Mn+1 = T (Mn ).

1. Que peut-on dire du module de zn , pour tout n 6= 0 ? En déduire la valeur du produit znzn .

Montrer que l’on peut écrire

zn+1 = R2 (zn a)

R2−azn .

2. On considère la suite à termes complexes définie par

un = zn +R

zn R

pour tout n 6= 0.

Exprimer un+1 en fonction de un . En déduire l’expression de un en fonction

de n, u0 et k = Ra

R+a , puis montrer que l’on a +a

zn +R = 2Rknu0 knu0−1

En déduire la limite de la suite réelle de terme général |zn +R|, lorsque n aug- mente indéfiniment.

Lyon 2 juin 1972

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