Géométrie - exercitation 3, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le carré d’un entier naturel n, la similitude directe.
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[ Baccalauréat C Centres étrangers groupe 1 bis \ juin 1982

EXERCICE 1 4 points

Démontrer que, si un entier naturel premier p est tel que la somme de tous les divi- seurs de p4 est le carré d’un entier naturel n, alors

2p2+p < 2n < 2p2+p +2.

En déduire l’existence et l’unicité de p ainsi que le calcul du couple (p, n).

EXERCICE 2 4 points

Dans un plan affine euclidien orienté, une similitude directe SO de centre O trans- forme un couple donné (A, B) de points distincts, autres que O, en un couple (A′, B′). La similitude directe SA de centre A qui transforme B en B′, transforme O en P. La similitude directe SB de centre B qui transforme A en A′, transforme O en Q. Démontrer que O est le milieu de (P, Q).

PROBLÈME 12 points

On donne les deux applications numériques

f : R → R, x 7−→ −1+ p 1+ x2 et

ϕ : R → R, x 7−→ x2

1+|x| 1. Démontrer que f et ϕ sont paires, continues et dérivables.

Étudier f (x) et ϕ(x) quand x tend vers +∞. Montrer que les courbes repré- sentatives C de f et Γ de ϕ rapportées au repère orthonormé directR (unité : 2 cm) admettent pour asymptotes deux droites ayant respectivement pour équation

y = x −1 et y =−x −1.

Étudier les variations de f et de ϕ.

2. Démontrer que, quel que soit x réel,

1+|x|6 1+ √

1+ x2 et f (x)6ϕ(x).

En déduire la position relative de C et Γ que l’on construira en plaçant les points d’abscisses 1, 2, 3, 4 notamment, points dont les ordonnées seront calculées à 0,1 près par excès. Justifier la position deC et Γ par rapport à leurs asymptotes communes.

3. Démontrer que l’application numérique

g : R→R, x 7−→ 1

p 1+ x2

est paire, continue et dérivable et que l’application numérique

G : R→R, x 7−→ Log ( x +

√ 1+ x2

)

Terminale C A. P. M. E. P.

est l’une de ses primitives.

(Log désigne le logarithme népérien).

Démontrer par une intégration par parties que

x 0

√ 1+u2 du =

1

2 x

1+ x2+ 1

2 Log

( x +

√ 1+ x2

) .

Calculer en cm2 l’aireA dudomaineD ensemble des points M dont les couples de coordonnées (x ; y) sont tels que

06 x 6 4 et f (x)6 y 6ϕ(x).

Calculer la valeur numérique de A à 0,01 près par défaut.

4. Soit Cα le cercle passant par O origine de R et centré en I dont le couple de coordonnées est (0, α) avec α> 0. Former l’équation aux ordonnées des points communs à C etCα. Montrer que ces deux courbes ont deux points communs A et A′ autres que O si, et seule- ment si, α> 1. Dans la suite a(α) désigne la valeur absolue commune des abscisses de A et A′.

Démontrer que la droite AA′ coupe le segment [OI].

Pour quelle valeur α1 de α, A, A′ et O sont-ils confondus ?

Démontrer que α1 est la limite de x2

2 f (x) quand x tend vers zéro.

Calculer l’ordonnée q(x) du point Q d’abscisse x de l’arc ÚAOA′ deCα. Démon- trer que

|x|6 a(α)⇒ f (x)> q(x).

En déduire la position relative des arcs ÚAOA′ de C et Cα.

Centres étrangers groupe 1 bis 2 juin 1982

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