Géométrie - exercitation 6, Exercices de Géométrie Algorithmique

Géométrie - exercitation 6, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercitation de géométrie 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la rotation vectorielle, l’espace vectoriel des fonctions numériques, les deux cas particuliers.
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[ Baccalauréat C septembre 1981 Étranger groupe I \

EXERCICE 1

Eest un espace vectoriel euclidien orienté par la base orthonorméedirecte (

−→ ı ,

−→ ı ,

−→ k )

.

f est l’application de E vers E définie par :

f (

−→ ı )

= − 1

3

−→ ı +

2

3

−→ ı +

2

3

−→ k ,

f (

−→ ı )

= 2

3

−→ ı

1

3

−→ ı +

2

3

−→ k ,

f (−→ k )

= − 2

3

−→ ı +

2

3

−→ ı

1

3

−→ k .

1. Démontrer que f est une rotation vectorielle. Déterminer son axe.

2. Déterminer f f . Que peut on en déduire pour f ?

EXERCICE 2

1. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel n le reste de la division de 3n

par 7.

2. Déterminer le reste de la division par 7 du nombre A sachant que

A = (2243)325+ (1179)154.

3. Le nombre B s’écrit en base 3 : 121010201.

Déterminer le reste de la division de B par 7.

EXERCICE 3

OndésigneparC l’espace vectoriel des fonctionsnumériques à variable réelle conti- nues sur R⋆+.

Partie A

1. Montrer que, f étant un élément de C , on peut associer à tout réel a stricte- ment positif un réel, noté F (a), défini par

F (a)= ∫3a

a

f (t)

t dt .

2. a décrivant R⋆+, on définit ainsi une fonction F de R ⋆

+ vers R telle que

x ∈R⋆+, F (x)= ∫3x

x

f (t)

t dt .

Montrer que F est dérivable sur R⋆+ et que

x ∈R⋆+, F ′(x)=

f (3x)− f (x)

x .

La fonction F est elle élément de C ?

3. Définir F dans les deux cas particuliers suivants :

a. f : t 7−→ 1

t ;

b. f : t 7−→ 1.

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie B On étudie le cas où f est l’application f : t 7−→ cos t c’est-à-dire

x ∈R⋆+, F (x)= ∫3x

x

cos t

t dt .

Le but de cette question est de dégager quelques propriétés de la fonction F définie par une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer.

1. Déterminer

a. Le signe de F (

π

6

)

.

b. Le signe de F (

π

2

)

2. Montrer que

x ∈R⋆+,

f (t)

t

6 1

t .

et que

x ∈R⋆+, |F (x)|6 Log3.

3. Démontrer que

x ∈R⋆+, Log3−F (x)= 2 ∫3x

x

sin2 t2 t

dt

et que

06 Log3−F (x)6 2x2.

En déduire que F admet une limite à droite au point 0.

4. Soitm la fonction définie sur R⋆+ par

m(x) Log3−F (x)

x .

Étudier la- limite dem à droite au point 0.

Partie C SoitG la fonction réelle telle que

x ∈R⋆+, G(x) = F (x) G(0) Log3.

1. Démontrer que G est continue sur IR+.

2. En exploitant la méthode d’intégration par parties. établir que ’Ix ER !. sin 3x - 3 sin xl 2 G(x) - „ . 3x 3x En déduire que "Ix E At. 2 IG (x)1 " - x et étudier la limite de G en + 00. f f 1

3. Démontrer que G est dérivable sur IR+ et que - 4 cos x.sin2 x Vx E IR , G’(x) x

4. Déterminer l’ensemble des réels pour lesquels la fonction G présente un ex- trémum.Déterminer les intervalles sur lesquels G est Croissante.Décroissante.

5. On désigne par GI la restriction de G à l’intervalle [0, 2ft]. Donner le tableau de variation de G 1 sans préciser les valeurs des extrémums el en déduire que, sur Ji’ [, G, admet un zéro. Montrer que pour tout vecteur u de E, <Pt u) est orthogonal - à 0).

Étranger groupe I 2 septembre 1981

Terminale C A. P. M. E. P.

2° Déterminer le noyau de <p (noté Ker (Il). Vérifier que (0) est une base de Ker <p. Déterminer l’image de <p (notée lm <pl. Montrer que ces deux sous-espaces vecto- riels sont supplémentaires dans E. 3° On pose -+ 1 -+ -+ -+ 1 "3(-2i +j +2k), -+ 1 -+

−+] "3(2i+2 j+k).−−Démontrerque(1.J )estunebaseor thonorméedelm < pet− −−que(1.J , (0)estunebaseor thonorméedeE .(Danslasui teduproblème,onnoteraP J espacelm < p,etonor i enter aPàJ aidedelabaseor thonorméedi recte(1,7).)4řOnnote <P1l endomor phi smedePdé f m (UEPl , Déterminer la matrice de <Pl dans la base (1.7). 5° Démontrer qu’il existe une pro- jection vectorielle Q de E, - telle que, pour tout vecteur u de E. on ait : - - cp( u) cp, [Q( u )]. D) Soit " un espace affine euclidien associé à E, de repère - – orthonormé R = (0 ; i, j, Ir . on note R’ le repère - – orlhonormé R’ (0 ; l, J, 0). f est l’applicalion affIne de 1 dans 8, laissant le point 0 invariant, et d’endomorphisme associé <p. 9’ est le plan affine de repère orthonormé direct - - (0 ; l, J). l’ Déterminer f(/), image de 1 par f 2° Quel est l’ensemble !fi) des points M de 8, ayant le point 0 pour image. !fi)’ étant une droite parallèle à ! !iJ, coupant fP en A, quelle est l’image de ! !lf par f

Étranger groupe I 3 septembre 1981

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