Géométrie - travaux pratiques 10, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 10 sur le logarithme népérien. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, la transformation T , le nouveau repère orthonormé.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Paris juin 1972 \

EXERCICE 1

Calculer l’intégrale

∫1

0

4x

x2−4 dx

(

sous la formeLog p

q , p ∈N, q ∈N, le symbole Log désignant le logarithme népérien

)

.

Ecrire la formule d’intégration par parties pour l’intégrale

∫1

0 v(x)u′(x)dx,

et en déduire, en prenant u′(x)= 1, l’intégrale

I = ∫1

0 Log

x +2 x −2

dx.

Donner une valeur décimale approchée de I , à 4 ·10−4 près, sachant que 0,6931 est une valeur décimale approchée, à 5 ·10−5 près, de Log 2 et que 1,0986 est une valeur décimale approchée, à 5 ·10−5 près, de Log 3.

EXERCICE 2

On considère le corps Z/3Z, dont les éléments sont notés 0̇, 1̇, 2̇, et l’équation (E ) x2+px+q = 0, où les coefficients p et q appartiennent àZ/3Z et où l’inconnue x est à chercher dans ce corps. Déterminer successivement tous les couples (p ; q) tels que E admette

1. la solution 6 ;

2. la solution i ;

3. la solution 2 ;

4. aucune solution.

PROBLÈME

Partie A

Le plan euclidien (P) est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

, notéR, d’axes

Ox, Oy . À l’application, de C dans C, définie par

z 7−→ Z = iz + (1− i)z,

(où z est le conjugué de z) correspond alors la transformation T , du plan (P) qui, à m d’affixe 1 z, associe M d’affixe Z .

1. L’affixe d’un point de coordonnées (x ; y) est le nombre complexe x + iy

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Vérifier que le milieu du segment [mM] appartient à l’axe Ox et que, si m est distinct de M , la droite (mM) a une direction fixe.

On pourra, par exemple, exprimer d’abord les coordonnées X et Y du point M en fonction des coordonnées x et y du point m (dans le repère R).

En déduire que la transformation T est une symétrie oblique d’axe Ox, dont on précisera la direction.

2. a. Soit R′ le nouveau repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

défini dans le plan (P)

par (−→

u , −→ u

)

=α (où α est un nombre réel donné) et par (−→ u′ ,

−→ v

)

= π

2 .

Montrer que les affixes z et z ′ d’un même point m dans les repères res- pectifs R et R′ sont liées par la relation z = z ′(cosα+ i sinα). Exprimer, en fonction de z ′ et z ′, l’affixe Z ′ (dans le repèreR′) de l’image M de m par la transformation T .

b. On prend α= π

8 . Montrer que Z ′ = iz ′− i

p 2z ′.

Calculer alors les coordonnées X ′ et Y ′ du point M en fonction des co- ordonnées x′ et y ′ du point m (dans le repère R′).

En déduire une équation, dans R′, de l’image (Γ)= T (γ) par T du cercle (γ) de centre O et de rayon 1.

Quelle est la nature de (Γ) ?

Dessiner (γ) et (Γ) sur une même figure ; préciser quels sont leurs points communs, en s’appuyant sur la nature géométrique, trouvée au 1., de la transformation T .

Partie B

On associe à tout couple (a, ; b) de nombres complexes l’application, fa, b , de C dans C, définie par

fa, b(z)= az +bz.

1. Mettre fa, b fa, b)(z)−z, c’est à-dire fa, b [

fa, b(z) ]

z, sous la forme Az+B z , A et B étant deux constantes complexes.

Démontrer que Az +B z est nul pour tout z si, et seulement si, A = B = 0. (On pourra pour cela donner à z les valeurs 1 et i.)

Traduire alors par un système, S, de deux relations entre a,b,a et b la condi- tion pour que fa, b soit involutive.

Que deviennent ces relations pour b = 0 (on montrera qu’il existe deux appli- cations fa, b involutives) et pour b 6= 0. Vérifier que les valeurs a = i et b = 1− i, utilisées dans la partie A, conviennent dans ce dernier cas.

2. Dans cette question, fa, b est supposée quelconque, involutive ou non.

On considère maintenant C comme un espace vectoriel sur R.

a. Démontrer que l’application fa, b de C dans C est linéaire. On prend

B = (1, i) comme base de C ; calculer fa, b(1) et fa, b(i). b. Soit ϕ une application linéaire quelconque de C dans C, définie par sa

matrice M = (

p s

r q

)

relativement à B, p,q,r et s étant quatre réels.

Démontrer qu’il existe une application fa, b qui coïncide avec ϕ ; à cet effet, on calculeraϕ(1) etϕ(i) et l’on exprimera a et b aumoyen de p,q,r et s.

c. Déduire alors du système S de relations trouvées, précédemment, un système de relations entre p,q,r et s traduisant la condition pour que ϕ soit involutive.

Trouver directement ces relations, en calculantM 2, c’est-à -direM×M .

Paris 2 juin 1972

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