Géométrie - travaux pratiques 11, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 11 sur le cas particulier. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction de R dans R, l’aire comprise entre (D), (¡) et les droites d’équations.
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[ Baccalauréat C Poitiers juin 1972 \

EXERCICE 1

Soit N un entier naturel, tel que, en numération décimale, N s’écrive abcd et que l’entier qui s’écrit bcda soit divisible par 7.

1. a. Montrer que, si a = 0 ou a = 7, alors N est divisible par 7.

b. Montrer que 10N −3a est multiple de 7. En déduire que si N est divisible par 7, alors a = 0 ou a = 7.

2. On suppose a = 7,b = d et c = 0. Déterminer N pour qu’il soit divisible par 3.

EXERCICE 2

Soit (P) un plan affine euclidien et soit (

O, −→ ı ,

−→

)

un repère de (P).

A est le point de coordonnées (1 ; 0). B est le point de coordonnées (−1 ; 0). k1 et k2 sont deux réels non nuls. Soit M un point quelconque de (P), M1 le transformé de M dans l’homothétie de centre A et de rapport k1 et M2 le transformé deM dans l’homothétie de centre B et de rapport k2 Soit alorsM ′ le transformé de O dans la translation de vecteur

−−−−−→ M1M2

f est l’application de (P) vers (P) qui à M associe M ′.

1. Chercher si f admet des points invariants.

2. Si k1 6= k2, montrer que f est, soit une translation, soit une homothétie, que l’on précisera.

Étudier le cas particulier k1 = k2.

PROBLÈME

Leplan estmuni d’un repère orthonorméR = (

O, −→ ı ,

−→

)

. Onprendpour unité 1 cm.

1. Soit f la fonction de R dans R définie par

x 7−→ y = f (x)= x2+4x−3

|x+6|

Étudier les variations de f , puis tracer sa courbe représentative (Γ) dans le repère R.

2. Discuter suivant les valeurs de k, le nombre de points d’intersections de (Γ) avec la droite d’équation y = k.

Dans le cas où il n’y a que deux points d’intersection Ak et Bk soitGk le centre de gravité de O, Ak et Bk (c’est-à-dire le barycentre des trois points O, Ak et Bk affectés de coefficients égaux). Quel est l’ensemble (D) des points Gk lorsque k varie ?

3. Calculer l’aire comprise entre (D), (Γ) et les droites d’équations respectives x = 0 et x = 2.

On pourra mettre f (x) sous la forme

f (x)= ax+b+ c

x+6 .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. On pose Z =− z2+4z−3

|z+6| , où z ∈C.

Soit P le point de coordonnées (x ; y), d’affixe z.

a. Quel est l’ensemble des points P tels que Z soit réel ? Calculer Z dans chacun des cas. Que remarque-t-on ?

b. Montrer que l’ensemble des points P tels que Z soit imaginaire pur est une conique, dont on précisera la nature et, s’il y a lieu, le centre, les axes de symétrie, les sommets et les éléments caractéristiques.

Poitiers 2 juin 1972

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