Géométrie - travaux pratiques 17, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 17 sur l'espace vectoriel sur R. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des vecteurs, les éléments de l’anneau.
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[ Baccalauréat C Sud Vietnam juin 1972 \

EXERCICE 1

Le plan affine euclidien, E, étant rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, on

associe à tout point M , de coordonnées (x ; y), son affixe z = x+ iy . Soit T la transformation ponctuelle de E qui, à tout point M(x ; y) d’affixe z, fait correspondre le point M

(

x′ ; y ′ )

d’affixe z ′ définie par

z ′ = (1− i)z+2− i.

1. Préciser la nature géométrique de la transformation T ainsi que les éléments géométriques servant à la définir.

2. Quelle est l’image par la transformationT du cercle (C ) de centreO et de rayon 1 ?

EXERCICE 2

Si d est le PGCD des deux entiers naturels a et b, quel est le PGCD des entiers

a′ = 13a+5b et b′ = 5a+2b?

PROBLÈME

À chaque entier naturel n, non nul, on associe la fonction fn qui, à tout réel x stric- tement positif, associe le nombre réel

y = fn(x)= xn +1

4x2 .

1. Étudier les fonctions f1 et f2

[

f1(x)= x+1

4x2 et f2(x)=

x2+1

4x2

]

et construire leurs

courbes représentatives (C1) et (C2) dans un plan (P), rapporté à un repère or-

thonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. Pour n > 2, étudier la fonction fn :

a. sa continuité,

b. son sens de variation ; on désignera par xn la valeur de x pour laquelle fn présente un minimum,

c. les valeurs limites lim x→0

fn(x) et lim x→+∞

fn(x).

On étudiera, suivant la valeur de l’entier n, l’existence d’asymptotes à la courbe (Cn).

Construire la courbe (C3) représentative de la fonction f3 dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

3. Dans cette question, on désire encadrer le nombre xn .

a. Suivant la valeur de l’entier n strictement supérieur à 2, comparer les nombres xn et 1.

b. Démontrer que la différence xn − 1

2 a même signe que la différence

xnn − 1

2n .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

On considère la fonction, ϕ, qui, à tout nombre réel x strictement positif, associe le nombre

ϕ(x)= 2x+1− x+2.

Étudier les variations de la fonction ϕ et montrer qu’elle est strictement positive, quel que soit le nombre réel x strictement positif.

Montrer que, pour tout entier n strictement supérieur à 4, le réel xn ap-

partient à l’intervalle

]

1

2 ; 1

[

.

4. Étudier l’intersection des courbes (Cn) et (Cn′ ), pour deux entiers distincts n et n′. En déduire que toutes les courbes (Cn ) passent par un même point, B, dont on précisera les coordonnées.

On suppose n < n′ ; comparer, suivant les valeurs de x strictement positives, les nombres fn (x) et fn′ (x).

En déduire la position relative des courbes (Cn ) et (Cn′ ).

5. Construire dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, la courbe représentative, (C ), de la fonc-

tion qui, à tout réel x strictement positif , associe le nombre y = 1

4x2 .

n étant un entier donné, montrer que la courbe (C ) est située en-dessous de la courbe (Cn ) et calculer l’aire A (t) de la partie du plan (P) qui est limitée par les courbes (C ) et (Cn) et par les droites d’équations respectives x = 1 et x = t .

Étudier la limite de A (t) lorsque t tend vers 0.

Sud Vietnam 2 juin 1972

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