Géométrie - travaux pratiques 3, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 3 sur la fonction composée des fonctions f et g. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres réels, la nature de la transformation, la fonction numérique de la variable réel...
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Montpellier septembre 1971 \

EXERCICE 1

On désigne par g f la fonction composée des fonctions f et g qui, à tout x réel,

associe (g f )(x)= g [ f (x)].

On note f f = f 2, f 2 ◦ f = f 3, . . . , f n−1 ◦ f = f n .

Soit f la fonction affine de R vers R telle que

f (x)= ax +b.

Déterminer f 2, f 3, . . . , f n en calculant f 2(x), f 3(x), puis f n(x) par récurrence.

Réciproquement, soit la fonction affine h telle que

h(x)=αx +β.

Déterminer une fonction affine f telle que f n = h.

Discuter.

N.-B. - Les lettres a,b,α et β désignant des nombres réels.

EXERCICE 2

Dans le plan complexe, on considère le point A d’affixe 2 et les transformations

ponctuelles suivantes :

H1 : homothétie de centre A et de rapport 2,

H2 : homothétie de centre O et de rapport − 1

2 ,

R : rotation de centre A et d’angle − π

2

1. Quelle est la nature de la transformation

H2 ◦R H1?

2. Quelle est la nature de la transformation

H2 ◦R R H1?

(On rappelle que la notation T2◦T1 désigne le produit des transformations T1 et T2 la transformation T1 étant effectuée la première.)

On donnera les caractéristiques géométriques de ces transformations.

PROBLÈME

Soit f la fonction numérique de la variable réelle qui à x fait correspondre

f (x)= x +Log (

x2−1 )

(Log désigne le logarithme népérien), et soit (f) sa représentation graphique dans un

repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy .

Partie A

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. Déterminer le domaine de définition de f , puis le comportement de f (x) aux bornes de ce domaine de définition. Quand x tend vers −∞, on pourra mon-

trer d’abord que

Log (

x2−1 )

= 2Log |x|+Log

(

1− 1

x2

)

.

puis mettre f (x) sous la forme xg (x).

2. Dresser le tableau des variations de f (x). Donner sur la copie tout calcul nu- mérique utile. Indiquer le procédé utilisé (règle, table).

Construire (Γ).

Partie B

1. Soit la droite (D) d’équation y = x +h.

Montrer que, quel que soit h, (D) coupe (Γ) en deux points M et M ′ ; donner

leurs coordonnées.

En déduire une transformation ponctuelle dans laquelle (Γ) est globalement

invariante.

Soit (T ) la tangente en M , (

T ′ )

la tangente en M ′ à (Γ). Montrer que le point I

intersection de (T ) avec (T ′) est sur y ′Oy .

2. Calculer en fonction de h l’aire ( ∑

) du triangle IM M ′. Calculer leminimum de

( ∑

) quand h varie.

On demande enfin de calculer

[

x +Log (

x2−1 )]

dx

lorsque x appartient à l’intervalle ]+1 ; +∞[.

On pourra, pour cela, calculer la dérivée de

x −Log (x +1)

et celle de xLog (x +1), afin d’en déduire

Log (x +1)dx,

et procéder de même pour obtenir

Log (x −1)dx.

Montpellier 2 septembre 1971

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