Géométrie - travaux pratiques 5, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 5 sur la fonction de R dans R. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base orthonormée de E, les vecteurs.
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[ Baccalauréat C Nantes juin 1972 \

EXERCICE 1

On considère la fonction de R dans R définie par

f (x)= x+1+2e−2x

1. Étudier les variations de f et tracer la courbe représentative (C ) de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé dont l’un des axes est x′Ox.

2. Calculer l’aire du domaine plan limité par (C ), son asymptote et les droites ayant pour équations respectives x = 0 et x =m (m > 0). Quelle est la limite de cette aire quandm croît indéfiniment ?

EXERCICE 2

Une personne a placé une somme, S. À la fin de chaque année, l’intérêt de ce place-

ment est égal à 1

25 de la somme due au début de cette même année ; cette personne

peut percevoir effectivement l’intérêt ou bien le laisser placé à son tour : en fait elle choisit cette seconde solution.

1. Quelle somme lui est-il dû à la fin de la deuxième année, de la troisième année, de la n-ieme année

(

n ∈N⋆ )

?

2. Pendant combien d’années, au moins, lui faudra-t-il poursuivre son place- ment pour qu’il lui soit dû une somme supérieure à 2S ?

PROBLÈME

Partie A

Soit E un plan vectoriel euclidien et (−→ ı ,

−→

)

une base orthonormée de E. Une appli-

cation linéaire, f , de E dans E admet pour matrice dans la base (−→ ı ,

−→

)

A = (

a 1−a b 1−b

)

(a et b sont des nombres réels donnés).

1. Déterminer l’ensemble (∆) des vecteurs de E invariants par f . Quelles condi- tions faut-il imposer à a et à b pour que f soit la transformation identique de E ?

Lorsqu’il n’en est pas ainsi, démontrer que (∆) est une droite vectorielle, dont on donnera un vecteur de base.

2. Déterminer le noyau, N , de f , c’est-à-dire l’ensemble, N , des vecteurs −→ u de E

vérifiant f (−→ u

)

= −→ 0 .

À quelle condition N contient-il des vecteurs non nuls ? Démontrer que, dans ce cas, N est une droite vectorielle, dont on donnera une base.

3. On suppose a = b. a. Démontrer que (∆) et N sont des sous-espaces vectoriels supplémen-

taires de E. Définir géométriquement l’application f .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. On suppose, de plus, a = b = 2 ; démontrer que f est alors la projection orthogonale sur (∆).

On désigne par g la projection orthogonale sur N et par h la symétrie

vectorielle orthogonale par rapport à (∆) ; si −→ v est un vecteur quelconque

de E, quelles relations simples peut-on établir entre −→ v , f

(−→ v

)

, g (−→ v

)

et

h (−→ v

)

?

En déduire les matrices, dans la base (−→ ı ,

−→

)

, de g et de h.

4. On suppose, dans cetLe question,

(ab)(ab−1)(a−1)b 6= 0.

On se propose d’étudier les vecteurs −→ u non nuls de E vérifiant f

(−→ u

)

=λ −→ u , où

λ est un réel.

a. Démontrer qu’il existe deux valeurs, λ1 et λ2 de λ répondant à cette question.

b. Démontrer que les vecteurs −→ u1 (resp.

−→ u2 ) associés à λ1 (resp.λ2) sont les

vecteurs d’un sous-espace vectoriel (D1) [resp. (D2)] de E.

Indiquer une base de (D1) et une base de (D2). Démontrer que (D1) et (D2) sont supplémentaires.

c. Démontrer que, à tout vecteur −→ v de E, on peut associer

−→ v1 de (D1) et

−→ v2

de (D2) de façon à obtenir

f (−→ v

)

=λ1 −→ v1 +λ2

−→ v2 .

d. Exemple : a =−1,b = 2. Préciser (D1), (D2) et f (−→ v

)

.

Partie B

Onconsidère le plan affine euclidien, (E ), de directionE et rapporté au repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Soitϕ l’application affine associée à f et pour laquelle O′ =ϕ(O) est O : le transformé M ′ =ϕ(M) d’un point quelconque M de (E ) est donc défini par

−−−→ OM ′ = f

(−−−→ OM

)

.

On suppose de plus que l’on a a =−1 et b = 2.

1. Démontrer que l’expression analytique de ϕ, dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, est

donnée par les relations

M(x ; y) 7−→ϕ(M)=M ′(x′ ; y ′),

avec

{

x′ = −x+2y y ′ = 2xy.

2. On considère le repère (

O, −→ I ,

−→ J

)

défini par

−→ I =

p 2

2

−→ ı

p 2

2

−→

−→ J =

p 2

2

−→ ı +

p 2

2

−→

Démontrer que, dans cenouveau repère, l’expression analytique deϕ est, avec M(X ; Y ) 7−→M ′(X ′ ; Y ′),

{

X ′ = −3X Y ′ = Y .

On pourra pour cela exprimer −→ ı et

−→ en fonction de

−→ I et de

−→ J .

Nantes 2 juin 1972

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Soit (C ) le cercle dont l’équation dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

est

x2+ y2−2x−2y = 0.

Quelle est l’équation de ce cercle dans le repère (

O, −→ I ,

−→ J

)

?

En déduire l’équation, la nature et les éléments remarquables de la courbe (

C ′), transformée de (C ) par ϕ.

(Faire une figure précise en utilisant les résultats de la question précédente.)

Nantes 3 juin 1972

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