Géométrie - travaux pratiques 7, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Géométrie - travaux pratiques 7 sur le logarithme népérien de x. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des matrices carrées, l’application du plan, la parabole (P).
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[ Baccalauréat C Nice juin 1972 \

EXERCICE 1

Soit la fonction f de la variable réelle x définie par

x 7−→ f (x)= xLog x

(Log x désigne le logarithme népérien de x).

1. Étudier cette fonction et construire sa courbe représentative (G) dans un re- père orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy .

2. Déterminer les primitives de f en faisant une intégration par parties et calcu- ler l’aire du domaine plan fini limité par (G), l’axe x′Ox et les droites d’équa- tions respectives x =

p e et x = e2 ?

On donnera une valeur approchée de cette aire, avec la précision permise par les tables de logarithmes.

EXERCICE 2

Soit E l’ensemble des matrices carrées, M , à deux lignes et deux colonnes, de la forme suivante :

M = (

p q

q p

)

(p ∈R, q ∈R, |p| 6= |q|).

1. Montrer que E est un sous-groupe commutatif du groupe multiplicatif des matrices inversibles. On rappelle qu’une matrice est inversible si son déter- minant est différent de 0.

2. Démontrer par récurrence que, pour tout n entier positif, la puissance n-ième de M s’écrit

Mn = 1

2

(

(p +q)n + (p q)n (p +q)n − (p q)n (p +q)n − (p q)n (p +q)n + (p q)n

)

PROBLÈME

Pour tout réel u, soit Tu l’application du plan, rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy , dans lui-même, qui, au point m(x ; y), associe le point M(X ; Y ) tel que

{

X = x +2u, Y = ux + y +u2.

1. a. Montrer que Tu est bijective et déterminer l’application réciproque, T −1u ·

b. Montrer que l’ensemble, E, des applications Tu , muni de la loi de com- position des applications, a une structure de groupe commutatif iso- morphe au groupe additif des nombres réels.

c. Montrer que la parabole (P) d’équation y = x2

4 est globalement inva-

riante par Tu

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. On définit, à partir de l’origine O, de proche en proche, le point Mn de la ma- nière suivante :

M1 = T 1 2 (O), M2 = T 1

22 (M1) , M3 = T 1

23 (M2) , . . . , Mn = T 1

2n (Mn−1) .

a. Calculer, en fonction de n, les coordonnées xn et yn de Mn . Quelle est la position limite de Mn quand l’entier n augmente indéfiniment ?

b. Exprimer, en fonction de n, les coordonnées Xn et Yn du barycentre,Gn , des points M1 ,M2, . . . ,Mn affectés de coefficients égaux à 1 et en déduire la position limite de Gn quand n augmente indéfiniment.

c. Calculer les coordonnées X n etY

n dupoint In , intersectiondes tangentes à la parabole (P) aux points Mn et Mn+1 et montrer que, pour tout n, In appartient à une parabole (P′), dont on donnera l’équation.

3. L’image par Tu du point O, c’est-à-dire le point M de coordonnées x = 2u et y = u2, est animée, par rapport au repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy , d’un mouvement défini, en fonction du temps t , par

u = tg t et t ∈ ]

π

2 ; π

2

[

a. Déterminer la norme du vecteur vitesse −−−→ v(t) du point M à l’instant t et

indiquer, sur la trajectoire, les arcs qui correspondent à un mouvement accéléré ou retardé.

b. Montrer que, pour t appartenant à l’intervalle ]

π

2 ; 0

[

, les vecteurs vi-

tesse aux instants t et t + π

2 sont orthogonaux.

c. On considère le point N défini, à chaque instant t , par −−→ ON =−−−→v(t) .

Montrer que l’équation cartésiennede l’ensemble (H ) des points N peut s’écrire sous la forme 2y2 = x3−2x2, x 6= 0. Construire (H ).

Nice 2 juin 1972

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