L'analyse numérique – examen d'algèbre – 10, Examens de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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L'analyse numérique – examen d'algèbre – 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le corps des nombres complexes, les courbes.
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[ Baccalauréat C Tahiti septembre 1983 \

EXERCICE 1

On désigne par C le corps des nombres complexes et par z le conjugué de z. Soit f l’application de C dans C définie par f (z)= z3.

1. Quel est l’ensemble des nombres z tels que f (z)= z ?

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

, on dé-

signe par M et M ′ les points d’affixes respectives z et f (z).

Quel est l’ensemble des points M tels que le triangle MOM ′ soit rectangle en O?

Quel est l’ensemble des points M tels que M , O et M ′ soient alignés ?

3. Déterminer l’ensemble des nombres complexes images par f des nombres complexes de module 1.

4. Déterminer et représenter dans le plan complexe les points M , d’affixe z telle que f (z)= i.

EXERCICE 2

Les vingt élèves d’une classe ont été pesés et chronométrés sur un parcours de 80m. Les données sont rassemblées dans le tableau ci-dessous.

X : poids en kg 62 62 59 57 62 Y : temps en s 10,3 11 10,5 11,1 11,5

X : poids en kg 58 57 60 55 65 Y : temps en s 10 11,3 9,9 11,8 10,8

X : poids en kg 66 66 64 65 80 Y : temps en s 10,6 11,4 10,9 11,9 11,8

X : poids en kg 70 65 51 55 65 Y : temps en s 11,3 11,8 11,4 11,9 10,9

-

1. Construire le nuage de points correspondants.

2. Déterminer les équations des droites de régression.

3. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre x et y .

PROBLÈME

Pour tout entier naturel k non nul, on définit dans R la fonction numérique fk par :

x ∈R, fk (x)= 1+ xk −1 p 1+ x2

On désigne par Ck la courbe représentative des variations de fk dans le repère or-

thonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

du plan P (unité : 2 cm).

Partie A

1. Démontrer que les courbes Ck ont exactement 2 points communs, que l’on déterminera.

Terminale C A. P. M. E. P.

2. a. Étudier les variations de f1.

b. ConstruireC1. Préciser les tangentes auxpoints d’intersectiondeC1 avec la droite d’équation y = x.

Partie B

On définit la suite (un )n∈N par la donnée de u0, réel positif, et par la relation :

n ∈N, un+1 = f1 (un )

1. Que peut-on dire de la suite (un )n∈N si u0 = 0 ou si u0 = 1 ? 2. Dans cette question, on suppose que u0 > 1.

a. Démontrer par récurrence que, ∀n ∈N, un > 1. b. En déduire que la suite (un )n∈N est décroissante.

c. Démontrer que la suite (un )n∈N est convergente et déterminer sa limite quand n tend vers +∞.

3. Dans cette question, on suppose que 0<u0 < 1. a. Démontrer par récurrence que, ∀n ∈N, 0<un < 1. b. En déduire que la suite (un )n∈N est croissante.

c. Démontrer que la suite (un )n∈N est convergente et déterminer sa limite quand n tend vers +∞.

Partie C

1. Étudier les variations de f2.

2. Démontrer que C2 admet la droite d’équation y = x+1 comme asymptote. 3. TracerC2 dans lemême repère queC1 . Préciser la position relative des courbes

C1 et C2.

Partie D

On pose 2

I = ∫1

0

1+ x2 dx, J = ∫1

0

x2 p 1+ x2

dx, K = ∫1

0

1 p 1+ x2

dx.

1. Soit f la fonction numérique définie dans R par

f (x)= ln (

x+ √

1+ x2 )

(où ln désigne la fonction logarithme népérien).

Calculer f (−x)+ f (x) pour x ∈R. Étudier les variations de f . Tracer sa courbe représentative.

2. Déduire de l’expression de f ′(x) le réel K .

3. À l’aide d’une intégration par parties, exprimer I en fonction de J .

4. Vérifier que I = J +K . En déduire les valeurs de I et J .

5. Calculer ∫x

0

x p 1+ x2

dx.

Déduire de ce qui précède l’aire de la région de plan limitée par C1, C2, et les droites d’équation x = 0 et x = 1.

Montpellier 2 septembre 1983

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