L'analyse numérique – examen d'algèbre – 11, Examens de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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L'analyse numérique – examen d'algèbre – 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les entiers relatifs, les valeurs, les éléments caractéristiques.
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[ Baccalauréat C Toulouse juin 1983 \

EXERCICE 1 4 POINTS

n étant un entier relatif quelconque, on considère les entiers relatifs a et b définis par :

a = 3n2−7n−8 ; b =n−2.

1. Montrer que P.G.C.D.(a, b)= P.G.C.D.(b, 10). 2. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles : P.G.C.D.(a, b)= 5. 3. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles a et b sont premiers entre eux.

4. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles le nombre a b est un entier relatif.

EXERCICE 2 4 POINTS

Soit −→ E un plan vectoriel de base

(−→ ı ,

−→

)

.

Pour tout couple (a, b) de R2 on définit l’application linéaire f(a, b) de −→ E vers lui-

même dont la matrice relativement à la base (−→ ı ,

−→

)

s’écrit :

M(a, b) = (

1 b a a+b

)

.

1. a. Pour quelles valeurs de a et b, l’application f(a, b) est-elle bijective ?

b. Dans le cas où elle ne l’est pas, déterminer le noyau et l’image de f(a, b). Donner une base de chacun d’eux.

c. Pour quels couples (a, b) ces deux espaces vectoriels sont-ils non sup- plémentaires ?

2. Quelles sont les application f(a, b) involutives ?

Nature géométrique de f(0, −1). Préciser ses éléments caractéristiques.

3. Quelles sont les applications f(a, b) vérifiant :

f(a, b) ◦ f(a, b) = f(a, b) ?

Nature de f(0, 0). Préciser ses éléments caractéristiques.

PROBLÈME 12 POINTS

On rappelle que l’ensemble F des applications de R dans Rmuni de l’addition et de la multiplication par un réel est un espace vectoriel sur R et que l’ensemble C des applications continues de R dans R est un sous-espace vectoriel de F .

Partie A

Soit E l’ensemble des applications

fa,b : R → R x 7−→ f (x)= e− x(ax+b) .

a et b sont des constantes réelles.

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel deC et que (

f0,1, f1,0 )

est une base de E .

2. Montrer que la dérivée f a,b de fa,b vérifie

f a,b = fa,b +a f0,1.

En déduire :

a. que f a,b appartient à E ;

b. une expression de la dérivée n-ième f (n) a,b de fa,b (n ∈N

⋆) ;

c. une primitive de fa,b .

Partie B

1. a. Soit ϕ un élément de C . À tout élément f de C , on associe l’élément g de F défini sur R par :

g (x)= ∫x

0 ϕ(t) f (t)dt .

(On justifiera l’existence de g . Montrer que g est dérivable sur R.

b. On notel’application de C dans F définie par :

( f )= g .

Montrer queest une application linéaire de C dans F .

2. On suppose que

x ∈R, ϕ(x)= p x2+1

x ∈R, g (x)= xex .

Montrer l’existence d’une application unique f de C telle que

( f )= g .

3. On suppose que ϕ ne s’annule pas sur R (c’est-à-dire que : ∀x ∈ R, ϕ(x) 6= 0) et que g est une application dérivable telle que g ′ appartienne à C et que g (0)= 0. Montrer l’existence d’une application f de C telle que( f )= g .

Partie C

1. On suppose que :

x ∈R, ϕ(x)= log (

1+ x2 )

x ∈R, g (x)= x3

3 .

Montrer l’existence d’une application f de C telle que

( f )= g .

2. Soit f la fonction

x ∈R⋆, f (x)= x2

log (

1+ x2 )

f (0)= 1

Toulouse 2 juin 1983

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

a. Étudier les variations de f . Pour déterminer le signe de la dérivée f ′ de f , on mettra f ′ sous la forme

x > 0, f ′(x)= 2x

[

log (

1+ x2 )]2

×γ(x)

et l’on précisera les variations de l’application γ pour en déduire le signe de γ(x) pour x > 0.

b. Tracer la courbe Γ représentative de f dans le plan P rapporté au repère précédent. (On admettra que f est dérivable au point O et que f ′(0)= 0.)

Partie D

ϕ étant une application de C , on note Φ la primitive de ϕ qui s’annulé pour x = 0.

Φ(x)= ∫

0 (t)dt .

On veut déterminer un couple ( f , g ) d’applications dérivables sur R vérifiant :

{

( f ) = g g f = Φ. (1)

1. Montrer que f et f ′ vérifient la relation :

x ∈R, ϕ(x)[ f (x)−1]= f ′(x). (2)

2. On pose h(x)= e−Φ(x)( f (x)−1). Montrer que (2) est équivalent à

x ∈R,h′(x)= 0.

et en déduire les solutions de (2).

3. En déduire une solution de (1).

Toulouse 3 juin 1983

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