L'analyse numérique – examen d'algèbre – 12, Examens de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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L'analyse numérique – examen d'algèbre – 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les points d’abscisse, l'équation.
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[ Baccalauréat C Toulouse septembre 1983 \

EXERCICE 1

1. Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie dans R par

f (x)= xe−x +e.

Étudier la fonction f et construire la courbe C représentative de f dans un plan rapporté à un repère orthonormé.

2. Calculer le nombre réel ∫1

−1 f (x)dx et donner une interprétation géométrique

de ce nombre.

3. Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie dans R⋆ par

g (x)=−e−x +eln |x|.

Étudier la fonction g et construire la courbe C′ représentative de g dans un plan rapporté à un repère orthonormé.

EXERCICE 2

On considère l’expression

f (z)= z3− (1−2i)z2+ (i−1)z−2i−6

z est un nombre complexe.

1. Montrer que l’équation f (z) = 0 admet une solution imaginaire pure, notée z1.

Montrer qu’il existe des nombres complexes a et b, tels que

f (z)= (zz1) (

z2+az+b )

.

En déduire les autres solutions z2 et z3 de l’équation f (z)= 0. 2. Déterminer un nombre complexe ω, tel que les trois nombres : z1−ω, z2−ω

et z3−ω, aient mêmemodule.

PROBLÈME

P désigne un plan rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

et V est le plan vecto-

riel associé à P.

Partie A

On considère les droites vectorielles ∆1 et ∆2 engendrées respectivement par−→ e1 =

−→ ı +−→et −→e2 =−

−→ ı +−→.

On désigne par E l’ensemble des endomorphismes de V dont la restriction à ∆1 est une homothétie vectorielle de rapport k, k 6= 0.

Terminale C A. P. M. E. P.

1. Démontrer que ϕ est un élément de E si, et seulement si, sa matrice, relative- ment à 8, est de la forme

( a ka b kb

)

, (a, b) ∈N2

Pour quelles valeurs de a et b l’endomorphisme ϕ est-il bijectif ?

Dans toute la suite du problème,ϕ désigne un élément de E.

2. Lorsque ϕ n’est pas bijectif, déterminer le noyau de ϕ, l’image ϕ(V ) de V par ϕ et l’ensemble des vecteurs invariants par ϕ.

(On appelle noyau de ϕ l’ensemble des antécédents par ϕ du vecteur nul de V ).

3. Pour quelles valeurs de a, b et k, ϕ conserve-t-il le produit scalaire ?

4. On suppose k 6= 1. Montrer que le seul élément de E qui laisse invariant −→e2 est l’application ϕk dont la matrice K dans D est :

  

1

2 (k+1)

1

2 (k−1)

1

2 (k−1)

1

2 (k+1)

  

5. Soit B′ = (−→ e1 ,

−→ e2

)

avec

−→ e1 =

−→ ı +−→et −→e2 =−

−→ ı +−→.

Vérifier que B′ est une base de V . Déterminer la matrice K′ deϕk relativement à B′. Déterminer la matrice de

ϕ n k =ϕk ϕk ◦ · · · ◦ϕk

︸ ︷︷ ︸

n éléments

dans la base B′ puis dans la base B.

Partie B

On considère l’application affine fk , de P dont l’endomorphisme associé ϕk avec k 6= 1, a pour matrice relativement à B :

K=

  

1

2 (k+1)

1

2 (k−1)

1

2 (k−1)

1

2 (k+1)

  

et qui laisse invariant le point A(1 ; 1).

1. Soit M ′ (

x′ ; y ′ )

l’image par fk du point M(x ; y). Exprimer x ′ et y ′ en fonction

de x et y .

2. Déterminer et construire l’ensemble D des points invariants par fk .

3. Soit H la projection orthogonale sur D d’un point M de P.

Démontrer que −−−→ HM ′ = k−−−→HM . Quelle est la nature de fk ?

4. Soit M0 (

x0 ; y0 )

un point fixe de P.

On poseM1 = fk (M0) ,M2 = fk (M1) , ...,Mn = fk (Mn−1) et on désigne par xi et yi les coordonnées du point Mi , i ∈ {0, 1, 2, ..., n}, n ∈N.

a. Calculer xn et yn en fonction de x0 et y0.

Lille 2 septembre 1983

Terminale C A. P. M. E. P.

b. Lorsque |k| < 1, démontrer que les suites (xn )n∈N et (

yn )

n∈N sont conver- gentes.

On note a = lim x→+∞

xn et b = lim x→+∞

yn .

On appelle L le point de coordonnées (a ; b).

Démontrer que L est la projection orthogonale deM0 sur D.

Partie C

On considère les fonctions numériques de la variable réelle x définies dans

[

− 5

2 ; 5

2

]

par

F1(x) = 3

5 x+

2

5

p 25−4x2

F2(x) = 3

5 x

2

5

p 25−4x2

1. Étudier F1 et construire la courbe représentative C1 de F1 dans le plan P rap-

porté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Préciser les tangentes à C1 aux points d’abscisse respective − 5

2 et

5

2 2. Démontrer que, dans P, la courbe représentative C2 est symétrique de C1 par

rapport à l’origine. Construire C2.

3. On pose C = C1∪ C2. Démontrer qu’une équation de C est :

5x2+5y2−6xy −20 = 0.

4. Déterminer une équation de f 1 2 (C), identifier f 1

2 (C).

Lille 3 septembre 1983

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