L'analyse numérique – examen d'algèbre – 8, Examens de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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L'analyse numérique – examen d'algèbre – 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des nombres complexes, les points d’affixe.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rouen septembre 1983 \

EXERCICE 1

Soit C l’ensemble des nombres complexes, i étant le complexe de module 1 et d’ar-

gument π

2 . On considère l’application f de C− {1+3i} dans C définie par la relation

f (z)= z+5− i z−1−3i

On appelle A et B les points d’affixe −5+ i et 1+3i respectivement. Dans un plan orienté muni d’un repère orthonormé direct

(

O, −→ ı ,

−→ )

, on considère

l’application F qui à tout point M d’affixe z fait correspondre le point F (M) = M ′ d’affixe f (z).

1. Déterminer les points invariants par F .

2. a. Déterminer analytiquement l’ensemble E1 des points M d’affixe z tels

que M ′ appartienne à (

O, −→ ı )

, axe des réels.

Déterminer analytiquement l’ensemble E2 des points M d’affixe z tels

que M ′ appartienne à (

O, −→ )

, axe des imaginaires purs.

Déterminer analytiquement l’ensemble E3 des points M d’affixe z tels que M ′ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1.

b. Faire une figure claire représentant ces trois ensembles E1, E2 et E3 et retrouver ces résultats par des considérations géométriques.

EXERCICE 2

Soit E l’espace orienté, muni d’un repère orthonormé directR = (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k )

. Soit

f l’application affine de E dans E, qui à tout pointM de E de coordonnées (x ; y ; z), fait correspondre le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ ; z ′ )

définies par :

x′ = p 2+2 4

x− 1

2 y +

p 2−2 4

z

y ′ = 1

2 x+

1 p 2 y +

1

2 z

z ′ = p 2−2 4

x− 1

2 y +

p 2+2 4

z.

1. a. Montrer que f est une rotation de E, dont l’axe D est la droite de vecteur

directeur (−→ k

−→ ı )

passant par O.

b. Soit les vecteurs

−→ e1 =

1 p 2

(−→ k

−→ ı )

, −→ e2 =

−→ ,

−→ e3 =−

1 p 2

(−→ ı +

−→ k )

.

Montrer que R′ = (

O, −→ e1 ,

−→ e2 ,

−→ e3

)

est un repère orthonormé direct de E.

c. Montrer que les plans orthogonaux à D ont pour vecteurs directeurs −→ e2

et −→ e3 . On oriente ces plans par la base

(−→ e2 ,

−→ e3

)

. Déterminer une mesure

de l’angle de la rotationf

2. Donner l’expression analytique de f dans R′.

Terminale C A. P. M. E. P.

PROBLÈME

Partie A Question préliminaire

Soit g la fonction polynôme définie dans R par g (x)= x2+ xm, oùm est un para- mètre réel non nul.

1. Résoudre l’équation g (x)= 0. 2. Lorsque cette équation a deux racines réelles distinctes x′ et x′′(x′ < x′′), pla-

cer −1 et 0 par rapport à x′ et x′′. Pour cela on pourra étudier le signe de g (0) et g (−1) et démontrer que : – sim > 0, 0 et −1 sont entre x′ et x′′ et – sim < 0, les racines x′ et x′′ sont négatives et situées entre −1 et 0.

Les parties B, C, D sont dans une largemesure indépendantes. Dans ces trois parties

on appelle P un plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

.

Partie B

Soitm > 0. Soit fm l’application définie sur R⋆− {−1} par

fm (x)= x+1+m ln ∣

1+ 1

x

et Cm la courbe représentative de fm dans le repère (

O, −→ ı ,

−→ )

.

1. Donner les limites de fm aux bornes de son ensemble de définition.

2. Étudier les variations de fm .

3. Étudier les branches infinies de Cm . Étudier complètement la position des courbes Cm par rapport à leur asymptote oblique D.

4. Démontrer que toutes les courbes Cm passent par un point fixe 1. Démontrer que I est centre de symétrie de chaque courbe Cm ?

5. ConstruireC2 etC1 dans lemême repère (

O, −→ ı ,

−→ )

. Onprendra commeunité

2 cm. (On ne précisera pas les points d’intersection avec les axes ni les points d’inflexion).

6. Soit λ un réel tel que 0 < λ < 1 et soit A (λ) l’aire de la partie de plan limitée par les courbes C2 et C1 et les droites d’équation x =λ et x = 1. Calculer A (λ). Quelle est la limite de A (λ) lorsque λ tend vers 0+ ?

Partie C

Soit t ∈R⋆ et gt l’application affine de P dans P telle que

gt : M(x ; y) 7−→M ′ (

x′ ; y ′ )

{

x′ = x y ′ = (1− t)x+ t y +1− t .

1. SoitG = {

gt , t∈R⋆ }

. Soit ϕ l’application de R⋆ dansG définie par :

t ∈R⋆, ϕ(t)= gt . Démontrer que ϕ est un isomorphisme de (R⋆, ×) dans (G, ◦). Quelle est la structure de (G, ◦) ? (On note ◦ la composition des applications).

2. Quel est l’ensemble des points invariants par gt ?

3. Soit H l’image de M par la projection sur la droite D (dont une équation est

y = x+1), parallèlement à la droite vectorielle engendrée par −→ .

Exprimer −−−→ HM ′ en fonction de

−−−→ HM .

Rouen 2 septembre 1983

Terminale C A. P. M. E. P.

4. Soit F = {Cm ,m > 0}, où Cm est la courbe définie en B. a. Démontrer que, ∀t ∈ R⋆+ l’image par gt , d’un élément de F est un élé-

ment de F .

b. Déterminer le réel t tel que l’image de C2 par gt , soit C1.

Partie D

Soit M un point mobile dans le plan P dont les coordonnées à la date t (

t ∈R⋆+ )

sont

x = 1

et −1 y =

1

et −1 +2t +1

1. Démontrer que la trajectoire γ du point M est contenue dans la courbe C2.

2. Déterminer l’image de l’intervalle ]0 ; +∞[ par la fonction h : t 7−→ 1

et −1 . En

déduire la trajectoire γ. Préciser le sens de parcours deM .

Rouen 3 septembre 1983

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