L'analyse numérique – examen d'algèbre – 9, Examens de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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L'analyse numérique – examen d'algèbre – 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le sens de variation de la fonction F, l’application affine.
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[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1983 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Le symbole Log désigne le logarithme népérien. Soit f la fonction définie sur R− {−1 ; 1} par :

f (x)= 1

x−1 +Log |x+1|.

1. Étudier la fonction f et tracer sa courbe représentative dans un plan affine

euclidien Emuni d’un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

2. On considère la fonction F définie sur ]1 ; +∞[ par :

F (x)= ∫x

3 f (t)dt .

Déterminer le sens de variation de la fonction F .

3. Soit ∆ l’ensemble des points M de E, de coordonnées (x ; y) vérifiant :

36 x6 5 ; 06 y 6 f (x).

Calculer l’aire de ∆.

EXERCICE 2 3 POINTS

PROBLÈME 13 POINTS

Partie A

1. Dans un plan affineΠ rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

, on considère l’applica-

tion f qui au point M de coordonnées (x ; y) associe le point M ′ de coordon- nées (x ; −y).

Reconnaître cette application et vérifier qu’elle laisse invariante la courbe P

d’équation : y2 =−x+ 1

4 .

2. À chaque réel a, on associe l’application affine fa deΠ dansΠ, qui à tout point M de coordonnées (x ; y) associe le point M ′ de coordonnées

(

x′ ; y ′ )

tel que

{

x′ = x+4ay −4a2

y ′ = 2ay

Donner la nature de fa et ses éléments caractéristiques. Vérifier que, pour tout a réel, la courbe P est invariante par fa .

3. On appelle F l’ensemble de toutes les applications fa lorsque a décrit lit Mon- trer que F,muni de la loi de composition des applications, n’est pas un groupe. Montrer que pour tout triplet (a, b, c) de R3, fc fb fa appartient à F.

En déduire que pour tout couple (a, b) de R2, il existe un réelm tel que :

fb fa = f fm = fm f .

4. On désigne par G l’ensemble de toutes les applications de la forme f fm lorsque m décrit R. Montrer que F ∪ G, muni de la loi de composition des applications est un groupe non commutatif.

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

5. On définit le pointΩ et le vecteur −→ J de la façon suivante

−−→ OΩ =

(

a2+ 1

4

)

−→ ı +a

−→ ;

−→ J =−2a

−→ ı +

−→ .

a. Vérifier que −→ J est un vecteur directeur de la tangente enΩ à P .

b. Vérifier que pour tout M de P , les vecteurs −−−−−−−→ M fa (M) et

−→ J sont liés.

c. On suppose la base (

−→ ı ,

−→

)

orthonormée, on choisit a égal à 1. Dessi-

ner P , placer le point Ω et le vecteur −→ J . Indiquer comment construire

l’image fa(M) d’un point M de P .

Partie B

Dans cette partie, le plan affine Π est supposé euclidien et le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

de π

orthonormé. On désigne par U l’ensemble des nombres complexes de module 1, et par U ⋆ l’ensemble U privé du réel 1.

1. Soit u un élément de U ⋆ ; on pose u = cosθ+ i sinθ avec θ ∈]0 ; 2π[.

Déterminer le module et un argument de 1−u en fonction de θ. En déduire le

module et un argument de 1

1−u et

1

(1−u)2 .

2. Montrer que :

a. l’ensemble des points M de Π d’affixe z = 1−u u décrit U ⋆ est le cercle de centre A d’affixe 1, et passant par O ;

b. l’ensemble des points M de Π d’affixe z = 1

1−u u décrit U ⋆ est la

médiatrice D de [OA] ;

c. l’ensemble des points M de Π d’affixe z = 1

(1−u)2 où u décrit U ⋆ est la

parabole de foyer O et de directrice D.

3. Soit B le point d’affixe b(b 6= 0), M le point d’affixe z ; interpréter le module de zb.

a. Quel est l’ensemble des points M d’affixe z = b(1−u), u décrivant U ?

b. Quel est l’ensemble des points M d’affixe z =−1b, u décrivant U ?

Strasbourg 2 juin 1983

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