L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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L'analyse numérique – exercices d'algèbre 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le centre de gravité du triangle ABC, les lieux géométriques desmilieux des côtés du triangle ABC.
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[ Baccalauréat C Lille septembre 1983 \

EXERCICE 1

Soit (Ω) et (Ω′) deux cercles de centreOet de rayons respectifsR etR′ avec 0<R′ <R. Soit P un point fixé de (Ω′) ; à chaque point A de (Ω′) distinct de P on associe la droite passant par P et orthogonale à (PA), qui coupe (Ω) en B et C.

1. Onnote G le centre de gravité du triangle ABC.Montrer que G est un point fixe du segment [OP).

2. Trouver les lieux géométriques des milieux des côtés du triangle ABC.

EXERCICE 2

Dans le planmuni d’un repère orthonormé ( O,

−→

ı , −→

) , on considère l’application ϕ

qui au point M de coordonnées (x ; y) associe le point M ′ de coordonnées (x′ ; y ′) telles que

  

x′ = − 3

4 x

1

4 y +

1

4

y ′ = − 1

4 x+

3

4 y +

1

4

1. Montrer qu’il s’agit d’une application affine bijective. Définir son application réciproque ϕ−1.

2. a. Démontrer que l’ensemble des points invariants parϕ est une droite DO que l’on précisera.

b. Vérifier que le vecteur −−−−→

MM ′ a une direction fixe et que le symétrique de M par rapport àM ′ appartient à DO.

c. En déduire une construction simple deM ′ connaissant le point M .

Préciser la nature de ϕ.

3. Soit (E ) la courbe d’équation

5x2+5y2−6xy −10x+6y −11 = 0.

Déterminer une équation de l’image de (E ) parϕ. Quelle est la nature de cette courbe image ?

PROBLÈME

Soit P le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→

ı , −→

) .

Partie A

Soit f l’application numérique d’une variable réelle x définie sur [0 ; 8] par

f (x)= ( 4− x2/3

)3/2 .

Soit A1 sa courbe représentative dans P.

1. Démontrer que f est continue sur [0 ; 8]. Calculer f(O) et f(8). f(x) - 8 20Montrer que lim = - 00. x-a x

Terminale C A. P. M. E. P.

2. La fonction f est-elle dérivable à droite en 0 ? Que peut-on conclure pour la courbe dl en son point d’abscisse nulle ?

3. Déterminer la dérivée de f sur ]0 ; 8[ ; en déduire les variations de f sur [0 ; 8].

4. a. Démontrer que f réalise une bijection de [0 ; 8] sur [0 ; 8].

b. Déterminer son application réciproque f −1. Que remarquez-vous ? En déduire que la courbedl admet sur [0 ; 8] la droite d’équation, y = x comme axe de symétrie. Que peut-on en déduire sur la tangente à dl en son point d’ordonnée nulle ?

c. Écrire une équation de la tangente à dl au point d’intersection de .011 avec la droite d’équation y = x.

5. Tracer la courbe dl dans ( O,

−→

ı , −→

) .

Partie B

Soit A la courbe d’équation

3 √

y2+ 3 √

x2 = 4 dans ( O,

−→

ı , −→

) .

Soit s1, s2, s3, s4 les symétries orthogonales par rapport aux droites d’équations res- pectives y = 0, x = 0, y = x, y =−x.

1. Vérifier que A est globalement invariante par chacune de ces symétries.

En déduire que A est globalement invariante dans trois rotations distinctes de centre O et d’angle non nul ; préciser les angles de ces rotations.

2. Démontrer que l’identité de P (notée Id), s1, s2, s3, s4 et les trois rotations trou- vées précédemment constituent un groupe pour la composition des applica- tions.

3. Soit A ′ l’ensemble des points M deA de coordonnées (x ; y) tels que 06 x6 8 et y > 0.

Démontrer que A ′ =D1.

En déduire la représentation graphique de A dans ( O,

−→

ı , −→

) .

Partie C

Dans cette partie, on prend un point C situé sur le cercle de centre O de rayon 8, tel

que l’angle de vecteurs ( −→

ı , −−→

OC ) ait une mesure t appartenant à l’intervalle

[ 0 ;

π

2

] .

On désigne respectivement par A, B et M les projections orthogonales de C sur les droites Ox, Oy et (AB).

1. Vérifier que ∥∥∥−−→AB

∥∥∥ est constante. 2. Montrer qu’une équation de la droite (AB) est

x sin t + y cos t −8sin t cos t = 0.

Démontrer que les coordonnées deM sont

  

x = 8cos3 t

y = 8sin3 t

3. Préciser la trajectoire deM quand t décrit l’intervalle [ 0 ;

π

2

] .

Lille 2 septembre 1983

Terminale C A. P. M. E. P.

4. Calculer les composantes du vecteur vitesse −→

V (t) de M à l’instant t ; en dé- duire le réel

L =

π 2

0

∥∥∥−→V (t) ∥∥∥ dt .

5. On suppose dans cette question que t appartient à l’intervalle ] 0 ;

π

2

[ .

a. Déterminer une équation cartésienne de la tangente en M à la trajec- toire. Reconnaître cette droite.

b. Linéariser sin3 x et cos3 x. Exprimer l’affixe deM en fonction de

α= cos t + i sin t .

c. Soit I le barycentre des points O ; A ; B affectés respectivement des coef- ficients - 2 ; 3 ; et 3.

Vérifier que M est l’image de C dans la rotation de centre I et dont une mesure de l’angle est −4t .

En déduire d’une part une mesure de l’angle á(−→ IC ,

−−→

IM ) , et d’autre part

que M est sur un cercle de centre I et de rayon indépendant de t .

Lille 3 septembre 1983

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