L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 4, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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L'analyse numérique – exercices d'algèbre 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les coordonnées entières, la base orthonormée.
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[ Baccalauréat C Lyon juin 1983 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit un plan affine P rapporté à un repère (

O, −→

ı , −→

)

; soit m un entier relatif ; soit

(D) la droite d’équation 3x−4y = 6 et (Dm ) la droite d’équation 16x+3y =m.

1. Résoudre dans Z2 l’équation 3x−4y = 6.

2. Trouver les points de (D) dont les coordonnées sont des multiples de 6.

3. Déterminer l’ensemble des valeurs de m telles que le point d’intersection de (D) et (Dm) ait des coordonnées entières.

4. Déterminer l’ensemble des valeurs de m telles que les coordonnées entières du point d’intersection de (D) et (Dm) soient divisibles par 6.

EXERCICE 2 4 POINTS

1. E est un espace vectoriel euclidien rapporté à une base orthonormée directe (

−→

ı , −→

, −→

k )

.

D est la droite vectorielle de base : −→

i − −→

j + −→

k . R est la symétrie d’axeD. (R est aussi appelé demi-tour d’axeD).

Exprimer dans la base (

−→

ı , −→

, −→

k )

, les vecteurs R( −→

i ), R( −→

j ), R( −→

k ). (On pourra

utiliser les images par R de vecteurs orthogonaux àD).

2. E est un espace affine associé àE rapporté au repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

, −→

k )

.

Soit f l’application affine de E dans laquelle un pointM(x ; y ; z a pour image M ′(x′ ; y ′ ; z ′) défini par :

x′ = − 1

3 x

2

3 y +

2

3 z+1

y ′ = − 2

3 x

1

3 y

2

3 z+4

z ′ = 2

3 x

2

3 y

1

3 z+2

Reconnaître la nature de f et donner ses éléments caractéristiques. (Onpourra

rechercher les points M tel que −−−−−−→

M f (M) soit parallèle àD).

PROBLÈME 12 POINTS

N.B. : les parties A et B sont indépendantes

Partie A

Soit f la restriction de la fonction tangente à l’intervalle ]

π

2 ; π

2

[

et g la fonction

définie par

g (x)= ∫x

0

1

1+ t2 dt .

1. Montrer que g est définie sur R. On pose h = g f .

2. Montrer que f a une application réciproque f −1 définie sur R. Construire sur une même figure les courbes représentatives de f et de f −1.

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

3. Montrer que h est dérivable sur ]

π

2 ; π

2

[

et calculer sa dérivée.

4. En déduire que g = f −1.

5. Calculer I = ∫1

0

1

1+ t2 dt .

Partie B

On considère les intégrales In = ∫1

0

(

1− t2 )n

dt et Jn = ∫1

0 t2

(

1− t2 )n

dt n désigne

un entier naturel.

1. Exprimer In+1 en fonction de In et de Jn .

2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties qu’on a, pour tout entier naturel n, In+1 = 2(n+1)In .

3. Établir alors une relation de récurrence entre In+1 et In . En déduire que pour tout n

In = 2 n ×

n!

1×3×5×·· · × (2n+1) .

Partie C

Soit (un )n∈N la suite définie par :

u0 = 1

u1 = 1+ 1

1×3

et plus généralement pour tout n ∈N par :

un = 1+ 1

1×3 +

1×2

1×3×5 +

1×2×3

1×3×5×7 +·· ·+

n!

1×3×5×·· · × (2n+1) .

1. En utilisant les résultats du B, montrer qu’on a, pour tout entier naturel n,

un = 2 ∫1

0

1− (

1−t2

2

)n+1

1+ t2 dt .

2. On pose vn = 2I un I est l’intégrale du A.

Exprimer vn à l’aide d’une intégrale. Montrer que pour tout t ∈ [0 ;1],

06 1−

(

1−t2

2

)n+1

1+ t2 6 1.

En déduire un encadrement de vn .

3. Calculer la limite de la suite (un )n∈N, puis celle de la suite (un )n∈N.

4. Déterminer un entier n0 tel que pour tout entier naturel n >n0,

π−2un 6 10 −3.

Lyon 2 juin 1983

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