L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 6, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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L'analyse numérique – exercices d'algèbre 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la suite de nombres complexes, le plan un cercle fixe, le lieu de l’orthocentre H du triangle ABD.
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[ Baccalauréat C Montpellier septembre 1983 \

EXERCICE 1

Soit (zn )n∈N la suite de nombres complexes définie par la donnée de z0 = 2 p 2(−1+i)

et les conditions suivantes : pour tout entier naturel n, un représentant de l’argu-

ment de zn+1 appartient à l’intervalle [

π

2 ; π

]

et z4n+1 = zn .

1. Déterminer le module et un argument de z1.

2. On pose rn = |zn | et vn = lnrn où lnrn désigne le logarithme népérien de rn . Montrer que (vn)n∈N est une suite géométrique.

EXERCICE 2

Ondonne dans un plan un cercle fixe (O) de centre O et de rayon R et un point A fixe situé sur (O). Les points B et D décrivent (O) de telle sorte que DB = , réel donné (0< < 2R).

1. Déterminer le lieu dumilieu I de [BD].

2. Déterminer le lieu du centre de gravité G du triangle ABD.

3. Déterminer le lieu de l’orthocentre H du triangle ABD.

(On commencera par démontrer −−→ OH = 3−−→OG ).

4. Déterminer le lieu du point C, C étant le quatrième sommet du parallélo- gramme construit sur [AB] et [AD].

PROBLÈME

Les quatre parties du problème sont dans une large mesure indépendantes

On considère les fonctions numériques de variable réelle f et g définies respective- ment dans R et dans R− {−1 ; 1} par :

f (x)= ex −1 ex +1

g (x)= ln ∣

1+ x 1− x

.

(où ln désigne la fonction logarithme népérien). Toutes les courbes demandées seront tracées dans unmême repère orthonormé (on prendra comme unité 2 cm).

Partie A

1. Montrer que f est impaire. Étudier ses variations. Tracer sa courbe représen- tative.

2. Soit a un réel différent de 0. Calculer l’aire A (a) de la partie du plan ainsi définie

{

0 6 x 6 a f (x) 6 y 6 1

(

on pourra utiliser le fait que1= (1+ex )−ex )

.

Étudier l’éventuelle limite de cette aire lorsque a tend vers +∞.

Terminale C A. P. M. E. P.

Partie B

1. Soit h la fonction numérique de variable réelle définie dans R par

h(x)= f (x)− x

2 .

Étudier les variations de h et en déduire le signe de h(x) suivant la valeur de x.

2. On considère la suite (un )n∈N ainsi définie : u0 = 1 et, pour tout n, un+1 = f (un ). Montrer que

n, 06un+1 6 un

2

En déduire la limite de la suite (un )n∈N ?

Partie C

1. La fonction g est-elle paire ? impaire ? Étudier ses variations et tracer sa courbe représentative.

2. Soit b un réel supérieur à 2. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, la valeur moyenne B(b) de g sur l’intervalle [2 ; b] ainsi définie

B(b)= 1

b −2

b

2 g (x)dx.

Montrer que B(b) tend vers 0 quand b tend vers +∞.

Partie D

1. Montrer que la restriction de g à ]−1 ; 1[ est une bijection de cet intervalle sur R.

Déterminer sa bijection réciproque.

2. Étant donné un réel x0 de R− {−1 ; +1}, résoudre l’équation, d’inconnue x :

g (x)= g (x0) .

(Discuter suivant la valeur de x0)·

3. On considère la fonction f g définie sur R− {−1 ; +1}. Cette fonction f g est-elle paire ? impaire ?

Donner l’expression la plus simple de f g (x) suivant la valeur de x. Étudier les éventuelles limites de la fonction f g en 1 et en −1. Tracer la courbe représentative de f g .

Montpellier 2 septembre 1983

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