L'analyse numérique – exercices d'algèbre – 8, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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L'analyse numérique – exercices d'algèbre 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démontrer que la somme des solutions est nulle, Déterminer et construire l’ensemble des points M de P, Démontrer que E est un ...
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[ Baccalauréat C Nantes juin 1983 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Résoudre dans C l’équation z5 = 1 ; les solutions seront données sous forme trigonométrique ; les représenter dans le plan complexe.

2. Démontrer que la somme des solutions est nulle.

3. En déduire que :

cos 2π

5 +cos

4π

5 =−

1

2 .

4. Exprimer cos 4π

5 en fonction de cos

2π

5 , puis calculer cos

2π

5 et cos

4π

5 .

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit P un plan affine euclidien ; ABC est un triangle équilatéral ; On note MN la distance euclidienne des points M et N et a = AB.

1. Déterminer et construire l’ensemble des points M de P tels que :

2a26 2AM2+BM2+CM2 6 3a2.

2. Pour k ∈R on considère l’ensemble :

k = {M/M ∈P, (2 −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC ) · (

−−→ AB +

−−→ AC )= k}.

a. Déterminer ∆k et tracer ∆k pour k = 3a2. b. Considérons (E ) l’ellipse de centreGbarycentre du système {(A, 2),(B, 1),(C, 1)}

dont Je grand axe est porté par la médiatrice de BC et est égal à a

p 7

2 et

dont le petit axe vaut a

p 3

2 .

Déterminer les réels k pour que ∆k soit l’une des directrices de l’ellipse (E ).

PROBLÈME (EXTRAIT) 12 POINTS

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

Partie A

On rappelle que l’ensemble F des applications de R dans R est un espace vectoriel sur R. On désigne par E le sous-ensemble de F constitué par les fonctions numériques f deux fois dérivables sur R et vérifiant la propriété :

x ∈R, 4 f ′′(x)−4 f ′(x)+ f (x)= 0

f ′ et f ′′ désignant les fonctions dérivées première et seconde de f .

1. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel de F .

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

2. Soit a un nombre réel. Démontrer que la fonction qui à x associe eax appar-

tient à E si et seulement si a = 1

2 .

3. Soit f une fonction numérique deux fois dérivable sur R. Démontrer que f appartient à E si et seulement si la fonction numérique g définie par :

x ∈R, g (x)= e− x 2 f (x)

vérifie :

x ∈R, g ′(x)= 0.

En déduire que E est l’ensemble des fonctions fa, b définies par :

x ∈R, fa, b(x)= (ax +b)e x 2

a et b étant deux réels arbitraires.

Démontrer que (

f1, 0 ; f0, 1 )

est une base de E. Quelles sont les coordonnées de fa, b dans cette base ?

4. On pose F = { f ∈E, f (0)= 0} G = { f ∈E, f ′(0)= 0}. Démontrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E.

Donner une base de chacun d’eux.

5. Soient u et v les éléments de E définis par :

x ∈R, u(x) = xe x 2 ;

x ∈R, v(x) = (

x

2 +1

)

e x 2 .

Démontrer que (u, v) est une base de E et que le système de coordonnées d’un élément f de E dans cette base est

(

f ′(0), f (0) )

.

En déduire que, pour tout couple de réels α et β, il existe un unique élément f de E tel que f ′(0)=α et f (0)=β.

6. Étudier les variations des fonctions u et v et tracer leurs courbes représenta- tives dans unmême repère orthonormé du plan. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de ces deux courbes.

On désigne par λ un réel strictement négatif ; calculer l’aire A (λ) de la région du plan limitée par les deux courbes tracées et par les droites d’équation x = λ

et x = 2

3 .

Cette aire admet-elle une limite quand λ tend vers −∞ ?

Partie B

On appelle S l’espace vectoriel réel constitué par toutes les suites numériques dé- finies surN. La suite de terme général un , n ∈N, sera notée (un ). Soit E′ le sous-ensemble de S constitué par les suites (un ) vérifiant la propriété :

n ∈N, 4un+2−4un+1+un = 0 (1).

1. Démontrer que E′ est un sous-espace vectoriel de S .

Soit (un ) une suite géométrique de premier terme u0 non nul et de raison q

non nulle ; démontrer que (un ) appartient à E′ si et seulement si q = 1

2 .

2. a. Démontrer qu’une suite (un ) appartient à E′ si et seulement si la suite de terme général λn = un2n est une suite arithmétique.

Nantes 2 juin 1983

Le baccalauréat de 1983 A. P. M. E. P.

b. En déduire que E′ est l’ensemble des suites dont le terme général s’écrit :

un = (an+b)2−n

a et b étant deux nombres réels arbitraires ; déterminer la dimension de E′.

3. a. Démontrer que :

n ∈N− {0 ; 1},2n >C2n .

(On rappelle que C2n = n!

2!(n−2)! ).

b. En déduire que la suite de terme général n

2n converge vers 0.

c. Déterminer, si elle existe, la limite de la suite (un ) de terme général gé- néral (an+b)2−n , a et b étant deux réels arbitraires.

d. On pose :

Sn = u0+u1+·· ·+un .

En utilisant la propriété (1), établir que, pour tout n deN, on a :

Sn = 4(u1−un+2) .

En déduire la limite de Sn quand n tend vers +∞.

Nantes 3 juin 1983

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