L’isobarycentre du triangle – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 10, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

L’isobarycentre du triangle – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 10, Exercices de Géométrie Algorithmique

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L’isobarycentre du triangle – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les points communs aux cercles de diamètres, le repère orthonormé.
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[ Baccalauréat C groupe 3 1 1990 \

EXERCICE 1 5 POINTS

Soit θ un nombre réel tel que 06 θ < π

2 .

1. Résoudre dans C l’équation :

z2 cos2θ−2z sinθcosθ+1= 0.

Déterminer lemodule et un argument des solutions éventuelles de cette équa- tion.

2. Résoudre l’équation différentielle :

(1+cos2θ)y ′′− (2sin2θ)y ′+2y = 0.

EXERCICE 2 5 POINTS

Soient Γ le cercle de centre 0 et de rayon R, [AA′] un diamètre fixé de Γ, P le milieu de [OA′]. Une droite distincte de la droite (AA′) et de la perpendiculaire en P à (AA′) pivote autour de P et coupe Γ en B etC .

1. Déterminer l’ensemble E1 des milieux M de [BC ] lorsque ∆ varie.

2. a. Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC .

La droite (AM) coupe (AH) en D.

Déterminer l’ensemble E2 des points D lorsque M décrit E1.

b. Montrer que ABDC est un parallélogramme.

En déduire que D est l’orthocentre du triangle ABC .

3. La droite (AM) coupe (OD) en I . Montrer que 2 −−→ OI +

−−→ ID =

−→ 0 .

Que représente I pour le triangle ABC ?

Déterminer l’ensemble E3 des points I lorsque M décrit E1.

PROBLÈME 10 POINTS

I.

1. Soit g l’application définie sur R+ par

g (x)= 2x2

x2+1 − ln

(

x2+1 )

.

Étudier les variations de g , déterminer sa limite en +∞.

En déduire que l’équation g (x)= 0 admet une solution unique α dans l’inter-

valle [1 ; +∞[. Prouver que 7

4 <α< 2.

2. On note Γ la courbe représentative de g . (On ne demande pas la construction de Γ.)

1. Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

a. Écrire une équation de la tangente T à Γ au point d’abscisse 2 ; détermi- ner la valeur exacte de l’abscisse x0 du point d’intersection de T et de x′Ox.

On note v1 et v2 respectivement les valeurs approchées par défaut et ex- cès de x0 à 10−3 près.

Des signes de g (v1) et g (v2) déduire un encadrement de α à 10−3 près.

Préciser le signe de g (x) sur R+.

II. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ )

, unité 2 cm.

Soit f l’application définie sur R par

f (0) = 0

f (x) = ln

(

x2+1 )

x si x 6= 0

On appelle C sa courbe représentative.

1. Montrer que f est dérivable en 0. Étudier les variations de f et sa limite en +∞.

2. Montrer que pour tout réel x >−1, on a ln(x+1)6 x.

En déduire la position relative de C et de sa tangente en 0.

Tracer la courbe C .

III. On note F la fonction définie sur R par

F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

On ne cherchera pas à calculer cette intégrale.

1. Soit r un réel strictement positif fixé. Montrer que F (r ) et F (−r ) sont les aires de domaines isométriques du plan.

En déduire la parité de F .

Déterminer les variations de F sur R+.

2. a. Montrer que 06 F (1)6 1

2 en utilisant la position de C par rapport à sa

tangente en O.

b. Montrer que pour tout réel t supérieur ou égal à 1,

ln (

t2 )

t 6

ln (

t2+1 )

t 6

ln (

2t2 )

t .

c. Soit x un réel, x> 1, calculer ∫x

1

ln t

t dt .

En déduire les limites de F (x) et de F (x)

x lorsque x tend vers +∞.

3. Donner l’allure de la courbe représentative de F en prenant 0,4 pour valeur approchée de F (1).

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