la capitalisation et l'actuariat - 2° partie, Notes de Gestion des affaires
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 janvier 2014

la capitalisation et l'actuariat - 2° partie, Notes de Gestion des affaires

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Notes de gestion sur la capitalisation et l'actuariat - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: LA RELATION, EXEMPLES, INTÉRÊT CONTINU, INTÉRÊT PROGRESSIF (RENTES), ARRONDISSEMENT.
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ce qui s'écrit également:

(125)

avec et inversement:

(126)

Dans un contexte de certitude de l'avenir (avenir certain), nous pouvons sans inconvénient

majeur remplacer la séquence des par leur moyenne géométrique:

(127)

Cette relation est très importante car nous la retrouverons dans les calculs des prises de

risques (Goodwil ou VAN).

Dans le cadre des intérêt cumulés (composés), deux notions importantes sont donc la "valeur

actuelle" et la "valeur finale" acquise d'un capital.

En répondant à la question : "Quel capital obtenons-nous au bout d'un certain temps en plaçant

aujourd'hui une somme X sur un carnet d'épargne?", nous faisons une recherche de valeur

finale ou acquise d'un capital. Nous parlons alors "d'opération de capitalisation".

Par contre, si nous nous demandons : "Quel capital devons-nous placer aujourd'hui sur un

carnet d'épargne pour obtenir au bout d'un certain temps un capital X ?", nous faisons une

recherche de valeur actuelle d'un capital. Nous parlons alors "d'opération d'escompte" (c'est le

propre du "calcul actuariel").

Définition: Nous appelons le "facteur de capitalisation" et le "facteur d'escompte" définis

par les relations :

(128)

ce qui nous amène par ailleurs à avoir .

Le relation de capitalisation composée peut alors se récrire :

(129)

De même, le capital initial peut être exprimé avec le facteur d'escompte :

(130)

Cela rend alors très simple le calcul d'actualisation ou de capitalisation puisqu'il s'agit de

multiplier le capital ou initial par le facteur d'escompte ou de capitalisation élevé à la

puissance n.

Rappelons maintenant la relation que nous avons obtenue lors de notre présentation initiale des

taux équivalents :

(131)

Souvent afin de se simplifier le calcul, la personne qui cherche le taux équivalent va se

rapporter à poser (normaliser) . Ce qui nous amène à écrire :

et (132)

vient alors une petite astuce du financier qui fait intervenir dans ses démarches de ventes le

concept de "taux effectif" (déjà vu!) et "taux nominal". Ces taux permettent à l'émetteur de

l'emprunt d'afficher un taux inférieur à ce qu'il est réellement (ce qui est interdit par la loi dans

certains pays!). Donc le taux nominal est toujours inférieur au taux effectif.

Exemple:

Imaginons que les conditions d'un prêt soient les suivantes : intérêt annuel de (taux

nominal) payable par tranches mensuelle de . Un individu attentif se rend

compte que payer 1% tous les mois dans un système d'intérêts composés ne donne pas un

intérêt annuel de 12% mais de :

.... (133)

qui est le taux effectif t% ! Pas forcément gagnant donc...

Maintenant, si plusieurs placements sont effectués simultanément pour des durées et à des

taux différents, nous pouvons être amené à calculer le taux moyen T de l'ensemble de ces

placementx.

Si nous notons le placement numéro t, le facteur de capitalisation du placement

numéro t, la durée du placement numéro t, k le nombre de placements et finalement T le

taux moyen de l'ensemble des placement nous pouvons à l'aide du calcul formel jusqu'au

quatrième degré (voir chapitre de calcul algébrique) ou au-delà avec l'analyse numérique

(prendre le solveur de MS Excel par exemple), résoudre l'équation :

(134)

Si nous faisons un changement de variables nous avons alors résoudre l'équation

de inconnues en x (tous les autres termes étant normalement connus dans l'énoncé du

problème) :

(135)

INTÉRÊT CONTINU

Rappelons que l'intérêt composé est défini en utilisant le taux effectif :

(136)

Avec le taux nominal nous écrivons alors :

(137)

Nous pouvons maintenant nous demander ce qu'il adviendrait du taux effectif t% si l'intérêt

était versé non pas mensuellement, ni quotidiennement, mais en continu, d'une manière

instantanée (ou quasi-instantanée). Nous écrivons alors (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

(138)

Ainsi, en cas de capitalisation continue, la fonction de capitalisation s'écrit finalement :

(139)

INTÉRÊT PROGRESSIF (RENTES)

Définition: Une "rente" ou "annuité" est une suite de paiements versés périodiquement à

intervalles de temps régulières et durant une période fixée d'avance à intérêt composé (typique

des deuxième ou troisième piliers en Suisse).

Il suffit alors d'appliquer la relation (voir plus haut la démonstration) à chaque terme

de rente versé si nous souhaitons connaître la valeur actuelle de cette rente.

Par contre, si nous souhaitons obtenir la valeur finale d'une rente, nous appliquerons à chaque

terme la relation (voir plus haut la démonstration) .

Définition: Si la rente est payable en fin de période, elle est dite "rente postnumerando". Par

contre, si elle est payable en début de période, elle est dite "rente praenumerando", ce qui est la

cas du dernier exemple.

Remarques:

R1. Les rentes qui sont toujours payées sont appelées "rentes certaines" et lorsque la durée est

fixée d'avance, nous parlons de "rentes temporaires".

R2. Les rentes versées sur la base de la durée de vie d'un individu sont appelées "rentes

viagères".

Puisque les termes sont souvent supposés constants, nous avons pour habitude de bases les

calculs sur la valeur d'une unité monétaire. Ainsi, nous notons (les notations adoptées sont

celles que nous trouvons dans la littérature car bien que peu pratiques, elles sont originales et

jolies à regarder...) :

- la valeur actuelle d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando (à terme

échu) pour une durée de n périodes

- la valeur actuelle d'une rente de une unité monétaire payable praenumerando (d'avance)

pour une durée den périodes

- la valeur finale d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando pour une

durée de n périodes

- la valeur finale d'une rente de une unité monétaire payable postnumerando pour une

durée de n périodes

Les relations utilisées utilisent les propriétés des séries géométriques et de leur somme

partielle (cf. chapitre de Suites Et Séries).

RENTES POSTNUMERANDO

A terme constant, pour calculer la valeur finale d'un rente à échéance/postnumerando, nous

pouvons donc travailler uniquement sur le facteur d'escompte en multipliant au final par le

montant de la rente.

Exemple:

Nous souhaitons calculer la valeur finale d'une rente postnumerando de 3'500.- versée durant

10 périodes et calculée au taux d'intérêt périodique de 6%.

Les versements ont lieu aux dates 1, 2,.. et 10. Le versement de la date 1 a pour

valeur acquise à la date 10 : . De même, le versement de la date 2 rapporte des

intérêts pendant 8 ans. Sa valeur acquise date 10 est donc: etc. Finalement le

versement de la date 10 (que nous venons de déposer à la banque) a pour valeur . La valeur

acquise des 10 versements est donc, en posant (nous démontrerons les

simplification juste après) :

(140)

Donc la rente postnumerando est un versement à termes constants et à taux constant durant

un nombre de périodes données amenant à une suite géométrique simple.

Rappelons donc que . Sous la forme de rente postnumerando à termes constants

nous avons alors sous forme général:

(141)

Ce qui s'écrit :

(142)

donc :

(143)

Or, nous avons donc une suite géométrique de raison q (cf. chapitre de Suites Et Séries). Dès

lors :

(144)

et donc :

(145)

Finalement :

(146)

Nous avons donc pour notre exemple dix périodes (dix termes donc avec ) :

(147)

Ce capital correspond donc à la somme acquise au bout de dix périodes.

La méthode de calcul de la valeur actuelle d'un rente à échéance/postnumeran fonctionne sur le

même principe mais à l'envers selon la relation démontrée plus haut . Donc si les

termes (montants versés) sont constant nous pouvons écrire :

(148)

donc :

(149)

Or :

(150)

alors :

(151)

finalement :

(152)

Remarque: La valeur correspondant donc au montant qu'il faudrait placer sur un

carnet d'épargne àt% afin de pouvoir y faire un retrait périodique constant durant

les n périodes et ainsi solder le compte.

Nous avons également les relations entre les rentes postnumerando actuelle et finale :

(153)

Nous avons également les opération en chaîne suivantes :

(154)

Remarque: Il est clair étant donné connus que et ainsi de

suite pour les autres types de rentes.

RENTES PRAENUMERANDO

La méthode de calcul de la " valeur actuelle d'un rente à avance/praenumerando" fonctionne sur

le même principe que la dernière toujours en utilisant la relation . mais cette fois les

termes de la suite géométrique changent puisque le payement se fait à l'avance :

(155)

donc :

(156)

Or :

(157)

alors :

(158)

finalement :

(159)

Remarque: Pour le même nombre de période et le même taux , nous

avons car .

La méthode de calcul de la valeur finale d'un rente à avance/praenumerando fonctionne sur le

même principe que la dernière toujours en utilisant la relation . mais cette fois les

termes de la suite géométrique changent puisque le payement se fait à l'avance :

(160)

donc :

(161)

Or :

(162)

alors :

(163)

finalement en notant nous avons:

(164)

Remarques:

R1. Avec la même notation nous avons par ailleurs la valeur actuelle de la rente praenumerando

qui s'écrit

R2. Pour le même nombre de période et le même taux , nous avons car .

ARRONDIS Pour arrondir un nombre x au multiple de 1/n le plus proche la relation à utiliser est la suivante

:

(165)

La démonstration est intuitive. Il suffit de s'imaginer l'axe des réels et de couper celui-ci en

1/n petits intervalles. Soit alors un nombre x donné, le nombre de ces intervalles dans x sera

donné par :

(166)

Enfin pour savoir quel est le nombre strictement inférieur au multiple recherché, nous prenons

la valeur entière de la dernière relation et la multiplions par 1/n tel que :

(167)

Si cependant, nous souhaitons avoir le nombre arrondi au multiple le plus proche, nous voyons

alors qu'il faut rajouter 0.5 tel que :

(168)

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