La division - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la division. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, la figure transformée.
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[ Baccalauréat C Bordeaux juin 1971 \

EXERCICE 1

Soit A, B, C et D quatre points donnés d’un plan tels que AB et CD n’aient pas même milieu. Déterminer les cercles (Γ) tels que les points A et B, d’une part, et C et D, d’autre part, soient conjugués par rapport à (Γ).

EXERCICE 2

1. Déterminer le reste de la division de 2n par 3, n étant un entier naturel.

2. Déterminer le reste de la division de (275423)n par 3.

3. Déterminer n pour que le nombre

N = (275423)n + (372121)n

soit divisible par 3.

PROBLÈME

Dans le corps des nombres complexes C, on considère l’équation

(1) (z −1)Z 2− [2iz2− (3+2i)z +2]Z −2iz +3= 0,

z ∈C est donné et Z ∈C est l’inconnue.

1. a. Montrer que, sauf pour une valeur z0 de z, l’équation (1) a deux racines

Z1 et Z2 = 1

1− z .

Calculer Z1.

Étudier le cas exceptionnel z = z0.

b. Dans le plan complexe (P), rapporté au repère orthonormé (

O, −→ u ,

−→ v

)

,

on désigne par m l’image de z et par M1 celle de Z1.

Caractériser la transformation T1 qui à m fait correspondre M1.

2. Soit M2 l’image de Z2 dans (P). On désigne par T2 la transformation qui à m (défini au 1. b) fait correspondre M2.

a. Existe-t-il des points de (P) qui n’ont pas de transformé par T2 ? Les- quels ?

b. (E) désignant l’ensemble des points de (P) ayant des transformés, T2 dé- finit une application de (E) dans (P). Cette application est-elle bijective ?

c. La transformation T2 admet-elle des points doubles ?

d. Calculer, relativement au repère (

O, −→ u ,

−→ v

)

, les coordonnées X et Y de

M2 en fonction des coordonnées x et y de m ; inversement, calculer x et y en fonction de X et Y .

3. Montrer que la figure transformée par T2 de la droite

(δ) ax +by +c = 0

est une droite ou un cercle.

Comment faut-il choisir a,b et c pour que la transformée de (δ) par T2 soit une droite (∆) ?

Indiquer une construction géométrique de (∆) connaissant (δ).

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

4. Si z1,z2,z3 et z4 sont quatre nombres complexes d’images respectivesm1 ,m2,m3 et m4 appartenant à l’ensemble (E), on convient de désigner par M12 ,M

2 2 ,M

3 2

et M42 leurs images dans la transformation T2 et par Z 1 2 ,Z

2 2 ,Z

3 2 et Z

4 2 les affixes

respectifs de ces derniers points.

Enfin, si x, y,z et t sont quatre nombres complexes, on note (x, y,z, t) leur bi- rapport, c’est-à-dire le nombre complexe

z x

z y . t x

t y

a. Montrer que l’on a

(2) (z1,z2,z3,z4)= (

Z 12,Z 2 2,Z

3 2,Z

4 2

)

.

b. Montrer que, pour avoir

(3) (z1,z2,z3,z4)= k, k ∈R (Rensemble des réels),

il faut et il suffit que m1,m2,m3 et m4 soient sur un même cercle ou soient alignés.

En déduire que la figure transformée d’un cercle par T2 est un cercle ou une droite.

5. a. On considère la transformation T3 qui à m image de z (z 6= 0) associe M3 image de Z3 défini par

(4) Z3 . z = 1

Calculer le module, R, et l’argument, Φ, de Z3 connaissant le module, r , et l’argument, ϕ, de z.

Construire géométriquement M3 connaissant m.

Discuter.

b. Trouver une construction géométrique de M2 (défini au 2.) connaissant m ∈ (E). (On pourra se ramener à la situation du 5. a.)

Endéduire unedécompositiondeT2 enproduit de transformations simples et retrouver géométriquement les résultats des questions 3. et 4.

Bordeaux 2 juin 1971

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