La fonction définie – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 18, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

La fonction définie – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 18, Exercices de Géométrie Algorithmique

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La fonction définie– travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Tracer la courbe représentative C de f, Interpréter graphiquement l'intégrale.
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[ Baccalauréat C Polynésie juin 1990 \

EXERCICE 1 4 POINTS

Soit f la fonction définie sur [0, 1] par

f (x)= sinπx.

1. a. Tracer la courbe représentative C de f (unité graphique : 8 cm).

b. Calculer : I = ∫1

0 sinπx dx.

c. Interpréter graphiquement cette intégrale.

2. Pour tout entier naturel n> 2, on pose :

Sn = 1

n

[

f (0)+ f

(

1

n

)

+ f

(

2

n

)

+·· ·+ f

(

n−1

n

)]

.

a. Interpréter graphiquement Sn , en introduisant les rectangles Rk de base [

k

n ; k+1

n

]

et de hauteur f

(

k

n

)

, où 06 k 6 n−1. Faire la figure lorsque

n = 8.

b. Prouver que :

1+ei π

n +ei 2π n +·· ·+ei

(n−1)π n =

2

1−ei π

n

.

c. En déduire que :

sin π

n + sin

2π

n +·· ·+ sin

(n−1)π

n =

cos π2n sin π2n

.

d. Prouver finalement que :

lim n→+∞

Sn = 2

π .

3. Comparer les résultats des questions 1. et 2. et interpréter graphiquement.

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans le planorienté, on considère un triangle équilatéral ABC, de centreO, tel qu’une

mesure de l’angle (

−−→ AB ,

−−→ AC

)

soit π

3 . On appelle C le cercle circonscrit à ABC, I le mi-

lieu de (A, B) et J le milieu de (O, I). Les droites (OA) et (OC) recoupent C respective- ment en D et E.

1. Placer ces points sur une figure (unité graphique : OA = 4 cm).

2. On note G l’isobarycentre des points A, B, C, D, E.

a. Exprimer −−→ OG en fonction de

−−→ OB .

b. Exprimer −−→ OG en fonction de

−→ OJ et

−−→ OD .

c. En déduire que les droites (OB) et (DJ) se coupent en G.

Placer G sur la figure.

3. À tout point M du plan, on fait correspondre le point M′ = f (M) défini par :

4 −−−→

MM’ = −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−→ MD +

−−→ ME .

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

a. Montrer que f est une homothétie, dont on précisera le centre et le rap- port.

b. Quelles sont les images par f des points B et D ?

4. Soient r la rotation de centre O et d’angle de mesure 2π

3 , et s = r f .

a. Démontrer que s est une similitude directe ; préciser son rapport et son angle.

b. Construire le point H, image de G par s. Démontrer que le centre Ω de s appartient aux cercles circonscrits respectivement aux triangles OGH et BOD. ConstruireΩ.

PROBLÈME 11 POINTS

On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par : t - 1

f (0)= 0, f (1)= 1 et f (t)= t −1

ln t si t ∈]0 ; 1[.

On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Le but du problème est d’étudier f et de calculer l’intégrale :

I =

∫1

0 f (t)dt .

A. Étude de f

1. a. Montrer que f est continue en 0 et en 1.

b. Montrer que f est dérivable sur ]0 ; 1[. Calculer f ′(t) et montrer que f ′(t) a le même signe que ϕ(t), où ϕ est la fonction définie sur ]0 ; 1[ par :

ϕ(t)= ln t −1+ 1

t .

c. Étudier les variations puis le signe de ϕ ; en déduire le signe de f ′.

2. Étudier la dérivabilité de f en 0 ; que peut-on en déduire pour la tangente à C au point O ?

3. a. Prouver que, pour tout élément u de

[

0 ; 1

2

]

,

06 1

1−u − (1+u)6 2u2.

En déduire que :

06− ln(1−u)−

(

u+ u2

2

)

6 2u3

3 .

b. Soit g la fonction définie sur ]0 ; 1] par g (x) = 1

f (x) . Prouver que, pour

tout élément h de

[

1

2 ; 0

]

,

06 g (1+h)− g (1)+ h

2 6

2h2

3 .

En déduire que g est dérivable en 1 et préciser g ′(1).

c. En déduire que f est dérivable en 1 et prouver que f ′(1)= 1

2 .

4. Tracer la courbe C (unité graphique : 10 cm).

Polynésie 2 juin 1990

Le baccalauréat de 1990 A. P. M. E. P.

B. Calcul de l’intégrale I

Pour tout élément x de ]0 ; 1], on pose :

I (x)= ∫1

x f (t)dt et J (x)=

∫1

x

f (t)

t dt .

(On ne cherchera pas à calculer ces intégrales.)

1. Soit K la fonction définie sur ]0 ; 1] par :

K (x)= J (

x2 )

J (x).

a. Montrer que K est dérivable sur ]0 ; 1] et que :

K ′(x)= 1

x

[

f (x)−2 f (

x2 )]

.

b. Prouver que, pour tout élément x de ]0 ; 1],

f (x)−2 f (

x2 )

=−x f (x).

c. En déduire que, pour tout élément x de ]0 ; 1],

I (x)= ∫x

x2

t −1

t ln t dt . (1)

2. Calculer la dérivée de la fonction t 7−→ ln(− ln t) sur ]0 ; 1]. déduire que pour tout élément x de ]0 ; 1],

x

x2

−1

t ln t dt = ln2 (2).

3. Prouver que, pour tout élément x de ]0 ; 1] et tout élément t de ]0,x[,

06− 1

ln t 6

−1

lnx .

En déduire que, pour tout élément x de ]0 ; 1],

06

x

x2

1

ln t dt

6 −x

lnx . (3)

4. À partir de (1), (2) et (3), déterminer la limite de I (x) lorsque x tend vers 0.

5. Établir que, pour tout élément x de ]0 ; 1],

I I (x)= ∫x

0 f (t)dt .

En déduire que :

06 I I (x)6 x.

6. Prouver finalement que I = ln2.

Polynésie 3 juin 1990

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