La fonction - exercices de mathématique, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématique sur la fonction . Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le module et l’argument du nombre complexe, le point P de la droite mM,
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amiens septembre 1971 \

EXERCICE 1

Soit la fonction f , de la variable réelle x,

x 7−→ f (x)= p 2x +2.

1. Étudier cette fonction. Tracer sa courbe représentative (C ) dans un repère or- thonormé x′Ox, y ′Oy .

2. Calculer la fonction dérivée de la fonction G, de la variable réelle x :

x 7−→G(x)= (ax +b) p

ax +b,

a et b représentent deux constantes réelles.

Pour quelles valeurs de x ce calcul a-t-il un sens ?

3. En déduire le calcul de ∫p

2x +2dx et l’aire, A , de la surface limitée par (C ),

l’axe x′Ox et l’axe y ′Oy .

EXERCICE 2

Le nombre t étant un nombre réel tel que

06 t < 4π,

déterminer, en fonction de t , le module et l’argument du nombre complexe z = 1− cos t + i sin t .

PROBLÈME

Soit un plan rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy . À tout point m(x ; y) de ce plan, on fait correspondre le point M(X ; Y ), par la rotation de centre O et d’angle

+ π

2 .

1. Exprimer en fonction de x et de y , les coordonnées X et Y de M et les coor- données α et β dumilieu I de mM .

2. On suppose que le point m décrit la droite (d) d’équation x = a. Quel est l’en- semble des points M ? Quel est l’ensemble des points I ?

3. Dans tout ce qui suit, le point m décrit le cercle (C1) passant par O, dont le centre C1 a pour coordonnées x = r et y = 0, où r est un nombre réel stricte- ment positif.

a. Déterminer l’équation du cercle (C1). Quel est l’ensemble (C2) des points M ? Quel est l’ensemble (Γ) des points I ?

b. Montrer que les points d’intersection de (C1) avec (C2) appartiennent à (Γ).

c. Montrer que la droite mM passe par un point fixe.

4. Plus généralement on considère le point P de la droite mM , tel que Pm

PM = λ

(λ constante réelle).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

a. Montrer que, lorsque m décrit le cercle (C1), l’ensemble (Γ′) des points P est un cercle qui appartient au faisceau linéaire de cercles défini par (C1) et (C2).

b. Quel est le rapport des puissances du point P par rapport à (C1) et à (C2) ?

Amiens 2 septembre 1971

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