La modélisation mathématique  – travaux pratiques 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

La modélisation mathématique – travaux pratiques 1, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 1 sur les couples (x, y) d’entiers relatifs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les couples (x, y), Étudier les variations de f .
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[ Baccalauréat C septembre 1981 Orléans-Tours \

EXERCICE 1

1. Déterminer les couples (x, y) d’entiers relatifs solutions de l’équation

5x−3y = 7.

2. Montrer que si (x, y) est une solution de l’équation, alors le plus grand divi- seur commun de x et y n’a que deux valeurs possibles.

3. Déterminer les couples (x, y) solutions de l’équation tels que le plus grand diviseur commun de x et y soit égal à la plus grande de ces deux valeurs.

EXERCICE 2

Soit la fonction

f : R → R

x 7−→ 1

1+ex

1. a. Étudier les variations de f .

b. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.

2. a. Montrer que la courbe admet un centre de symétrie dont on donnera les coordonnées.

b. Montrer que f est intégrable sur tout segment de R.

c. À l’aide de remarques géométriques donner un calcul simple de ∫a

a f (x)dx

(on rappelle que deux domaines plans isométriques ont même aire).

3. a. Montrer que pour tout x de R -x e

f (x)= e−x

1+e−x .

En déduire une primitive de f .

b. Retrouver par le calcul le résultat de 2. c.

EXERCICE 3

E est un espace vectoriel sur R dont une base est (

−→

ı , −→

, −→

k )

.

On rappelle que l’ensemble des applications linéaires de E dans E, noté L (E), muni des lois d’addition et de multiplication par un nombre réel habituelles a une struc- ture d’espace vectoriel surR, queL (E)muni de l’addition et de la loi de composition des applications, notée ◦, est un anneau commutatif et unitaire. Pour tout triplet (a ; b ; c) de réels, on définit l’application linéaire de E dans E notée ϕ(a ; b ; c) par

ϕ(a ; b ; c)

(

−→

ı )

= a −→

ı +b −→

+c −→

k

ϕ(a ; b ; c)

(

−→

)

= c −→

ı +a −→

+b −→

k

ϕ(a ; b ; c)

(

−→

k )

= b −→

ı +c −→

+a −→

k .

Notations :

Terminale C A. P. M. E. P.

F = {

ϕ(a ; b ; c) ∈L (E) ;(a ; b ; c) ∈R 3 }

ω=ϕ(0 ; 0 ; 0) ; α=ϕ(1 ; 0 ; 0) ; β=ϕ(0 ; 1 ; 0) ; γ=ϕ(0 ; 0 ; 1).r

Remarque - Les parties A, B et C du problème sont indépendantes.

A Structures de F

1. Démontrer que quels que soient a,b et c réels, ϕ(a ; b ; c) est une combinaison linéaire de α,β et γ.

En déduire que F est un sous-espace vectoriel de L (E). Quelle est la dimen- sion de F ?

2. Reproduire en la complétant la table de composition ci-dessous. (◦ est le sym- bole de la composition des applications).

Justifier en présentant les calculs.

α β γ

α

β

γ

Démontrer que (F , +, ◦) est un anneau commutatif, unitaire.

B Noyau et image de ϕ(a ; b ; c) Notations : ϕ(a ; b ; c) est notée ϕ dans cette partie. N(ϕ) : Noyau de ϕ ; I(ϕ) : image de ϕ.

D : Droite vectorielle de base (

−→

ı + −→

+ −→

k )

.

P : Plan vectoriel d’équation cartésienne

x+ y + z = 0.

1. Calculer 1

2

[

(ab)2+ (bc)2+ (ca)2 ]

.

2. Démontrer queN(ϕ) est l’ensemble des vecteurs dont les coordonnées (x ; y ; z) vérifient le système

ax+cy +bz = 0 bx+ay +cz = 0 (a+b+c)(x+ y + z) = 0.

Dans le cas où (a+b+c) est non nul démontrer que si N(ϕ) n’est pas réduit au vecteur nul, alors a = b = c.

3. Déterminer N(ϕ) et I(ϕ) dans chacun des cas suivants :

1er cas : il existe parmi a, b, c aumoins deux réels distincts et la somme

(a+b+c) n’est pas nulle.

2e cas : a,b et c sont tous les trois nuls.

3e cas : a,b et c sont égaux et non nuls.

Orléans-Tours 2 septembre 1981

Terminale C A. P. M. E. P.

4. On suppose qu’il existe parmi a, b, c au moins deux réels distincts et que la somme (a+b+c) est nulle.

Calculer ϕ (

−→

ı + −→

+ −→

k )

. Montrer que ϕ (

−→

ı )

et ϕ (

−→

)

sont deux vecteurs du

plan vectoriel P et sont linéairement indépendants.

En déduire N(ϕ) et I(ϕ).

C Dans cette partie on suppose E espace vectoriel euclidien et (

−→

ı , −→

, −→

k )

base or-

thonormée directe, on note Ψ = ϕ(2/3 ; 2/3 ; −1/3) et on considère un espace affine E

associé à E de repère (

O, −→

ı , −→

, −→

k )

, O étant un point de E .

Soit O′ le point de E de coordonnées (2/3 ; −1/3 ; 2/3) et f l’application affine asso- ciée à l’application linéaireΨ et telle que f (O) = O′. Démontrer que f est un vissage. Quelle est la direction de l’axe du vissage ? Énoncer une méthode de recherche des éléments caractéristiques du vissage. Dé- terminer ces éléments caractéristiques.

Orléans-Tours 3 septembre 1981

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