La modélisation mathématique  – travaux pratiques 4, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 4 sur les limites. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la propriété, la probabilité.
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[ Baccalauréat C Poitiers juin 1981 \

EXERCICE 1

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On désigne par fn la fonction d’une variable réelle x telle que

fn (x)= Log 2+ x

2− x nLog (x+n)

(où Log désigne la fonction logarithme népérien).

1. Quel est l’ensemble de définition de fn ? Étudier les limites et déterminer le tableau de variations de fn . (on distinguera le cas n = 2). (On ne demande pas de construire la courbe).

2. Montrer que pour tout n> 2, on a

(

1+ x

n

)n 6

2+ x

2− x

pour tout x appartenant à [0 ; 2[.

(On pourra utiliser, à condition de la justifier, la propriété fn (x)> fn (0) pour tout x appartenant à [0 ; 2[.

EXERCICE 2

1. Un dé cubique A porte inscrits sur ses faces les nombres : −2, 1, 1, 1, 2n, −n (où n est un entier relatif).

On suppose qu’à chaque lancer, les faces de A ont même probabilité d’appa- rition.

a. On lance une fois le dé A et on note X le nombre obtenu. On définit ainsi une variable aléatoire.

– Déterminer la loi de probabilité de X, en fonction du paramètre n. – Déterminer n pour que l’espérance mathématique de X soit nulle.

Dans la suite, on donnera à n cette valeur.

b. On lance A six fois de suite. Déterminer la probabilité d’obtenir au plus quatre fois le nombre 1.

2. Soit B un autre dé cubique dont les faces portent les nombres−3,−2,−1, 1, 2, 3 de telle sorte que les probabilités d’apparition respectives de ces nombres

soient six termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 1

3 .

a. Déterminer la probabilité d’apparition de chacune des faces de B.

b. On lance simultanément les dés A et B. Quelle est la probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à −2 ?

Quelle est la probabilité pour que la somme des nombres obtenus soit égale à −1 ?

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

PROBLÈME

Partie A

Soit u la fonction numérique d’une variable réelle qui à x associe

u(x)= x−3

x−1 .

1. Soit h et h1 les fonctions définiies par

h(x) = u(tg x),

h1(x) = sinx−3cosx

sinx−cosx

Montrer que h et h1 coïncident sur une partie de R à préciser.

Étudier la fonction h, établir le tableau de ses variations et tracer sa courbe représentative.

2. a. Soit v une fonction dérivable sur un intervalle I. À quelle condition sup- plémentaire doit satisfaire la fonction v pour que u v soit dérivable sur I ? Préciser, lorsqu’il en est ainsi, la dérivée de u v .

b. On note

J (x) = ∫

α

0 2

(t −1)2 dt

K (x) = ∫x −1

et (

et −1 )2

dt .

Calculer J (x) et K (x) en précisant les valeurs de x pour lesquelles ces intégrales sont définies.

Partie B

SoitP unplan affine euclidienorientémuni d’un repère orthonormédirect (

O, −→

ı , −→

)

.

DansP on désigne respectivement par H1, H2, H3 les courbes d’équations :

y = x−3

x−1 xy = −2,

x2− y2 = −4.

1. Précisez la nature de la coniqueH3 son excentricité, ses sommets, ses asymp- totes, ses foyers et les directrices associées.

2. On désigne par r la rotation de centre O dont une mesure de l’angle est π

4 , et

par r−1 la transformation réciproque de r .

Étant donné un pointM de coordonnées (X ; Y ) quelles sont les coordonnées (x ; y) dem = r−1(M) ?

Quelle est l’équation de la transformée de H3 par r ?

3. Soit A, B et C les points de coordonnées A(1 ; 0), B(1 ; 1) et C(0 ; 1). On se pro- pose de déterminer l’ensemble F des déplacements du plan P qui trans- forment la paire de droites {(BA), (BC)} en la paire {(OA), (OC)}.

a. Quelle est l’image de B par un élément de F ?

b. Montrer qu’il existe un déplacement unique f1 d’endomorphisme asso-

cié ϕ1, tel que f1(B) = O et ϕ1 (

−→

ı )

=

−→

ı , et que f1 appartient à F .

Poitiers 2 juin 1981

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

c. Montrer qu’il n’existe que trois autres déplacements f2, f3, f4 qui appar- tiennent à F (en préciser les angles et les centres).

4. a. SoitG l’ensemble des déplacements duplanqui transforment {(BA), (BC)} en la paire des bissectrices des axes de coordonnées. Déduire des ques- tions précédentes le nombre et la nature (sans autres précisions) des élé- ments de G .

b. Soitm un point de coordonnées (x ; y). Préciser les coordonnées de son image M par r−1 ◦ f1. Préciser la nature et les éléments caractéristiques de r−1 ◦ f1.

c. Montrer que H1 est transformée en H3 par r−1 ◦ f1. Combien y a-t-il de déplacements transformant H1 en H3 (on admettra qu’un tel déplace- ment transforme toute asymptote de H1 en une asymptote de H3 ?

N.B. - Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre

Poitiers 3 juin 1981

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