La modélisation mathématique  – travaux pratiques 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

La modélisation mathématique – travaux pratiques 8, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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La modélisation mathématique – travaux pratiques 8 sur le réel strictement positif. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction logarithme népérien, la rotation R de centre O.
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[ Baccalauréat C Rennes juin 1981 \

EXERCICE 1

1. Résoudre dans Z2 l’équation 23X −17Y = 6.

2. Déduire de l’étude précédente les entiers naturels A inférieurs à 1000 tels que dans la division euclidienne de A par 23, le reste soit 2, et dans celle de A par 17 le reste soit 8.

EXERCICE 2

1. Montrer que si x est un réel strictement positif

1+ 1

x > e−x .

Montrer que si x est un réel strictement négatif 1+ 1

x < e−x .

(On pourra comparer 1+ 1

x et e−x au nombre 1).

2. Soit f la fonction numérique définie par

f (x)= x+ ln |x|+e−x .

(ln désigne la fonction logarithme népérien).

Étudier f , (ne pas oublier l’étude des limites quand x tend vers +∞ ou −∞ et construire sa courbe représentative.

PROBLÈME (

O, −→ ı ,

−→

)

est un repère orthonormé direct d’un plan affine euclidien P. Soit P le

plan vectoriel associé à P. On appelle A l’ensemble des applications affines de P transformant toute droite D de P en une droite D’ orthogonale à D.

Partie A

1. Vérifier que la rotation R de centre O dont l’angle a pour mesure π

2 radian est

un élément de A .

2. On appelle ϕ l’endomorphisme du plan vectoriel −→ P associé à l’application af-

fine.

Montrer que f appartient à A si, et seulement si, pour tout vecteur non nul −→ u : ϕ

(

−→ u

)

6= −→ 0 et

−→ u ·ϕ

(

−→ u

)

= 0.

3. Montrer que si f appartient à A , la matrice de ϕ dans la base orthonormée (

−→ ı ,

−→

)

est de la forme

(

0 −λ λ 0

)

λ est un réel non nul.

En déduire que f est une similitude directe, en préciser le rapport et l’angle suivant les valeurs de λ.

4. En déduire quel est l’ensemble A .

Partie B

Le baccalauréat de 1981 A. P. M. E. P.

Dans cette partie, on désigne par B l’ensemble des applications (non supposées affines) de P dans P, transformant toute droite D de P en une droite D′ de P ortho- gonale à D. On se propose de montrer qu’une telle application est nécessairement affine et donc que A =B.

1. Soit f1 un élément de B.

a. Montrer qu’il existe au moins un couple de points (A, B) tel que

A 6= B et f1(A) 6= f1(B)

On notera A′ = f1(A) et B′ = f1(B).

b. On appelle M un point de P n’appartenant pas à la droite AB. Montrer que M ′ = f1(M) peut être obtenu comme intersection de deux droites que l’on précisera.

En déduire une construction de M ′.

2. Soit f2 la similitude plane directe transformant A en A′ et B en B′ (c’est-à-dire que f2(A)= f1(A) et f2(B)= f1(B).

a. Donner une mesure de l’angle de f2.

b. SiM n’est pas un point de la droite AB, montrer que f2(M)= f1(M).

c. Si M est un point de la droite AB, indiquer une construction de f1(M). (On pourra introduire un point C n’appartenant pas à la droite AB).

d. En déduire que f1 = f2 On a ainsi prouvé que A =B.

Partie C

R désigne toujours la rotation de centre O dont l’angle a pour mesure π

2 radian. La

loi ◦ est la composition des deux applications.

1. Montrer qu’on définit une loi interne, notée ⋆, sur A en posant

f ∈A ,∀g ∈A , f g = f R g .

2. Montrer qu’il existe dans A un élément e, neutre pour la loi ⋆.

3. Soit D l’ensemble des homothéties de rapport non nul et des translations. Montrer que pour tout h appartenant à D, e ◦h appartient à A .

Soit L l’application de D dans A qui à h associe e ◦h. Montrer que L est un isomorphisme du groupe (D, ◦) sur (A , ⋆).

Rennes 2 juin 1981

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