La suite de points – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 14, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

La suite de points – travaux pratiques de géométrie algorithmique – 14, Exercices de Géométrie Algorithmique

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La suite de points – travaux pratiques de géométrie algorithmique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le triangle équilatéral ACB, le centre de cette rotation.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole septembre 1990 \

EXERCICE 1 4 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O ; −→ e1 ,

−→ e2

)

.

On note C le cercle de centre O et de rayon R > 0 et A le point deC d’affixe R.

Étant donné un entier n> 2, on note r la rotation de centre O d’angle 2π

n .

On considère la suite de points (Mk )k>0 de C définie par la relation de récurrence Mk+1 = r (Mk ) et la condition initiale M0 = A. On note zk l’affixe de Mk .

1. a. Pour tout k > 0, exprimer zk+1 en fonction de zk .

b. En déduire l’expression de zk en fonction de k et n.

c. Comparer Mn et M0.

d. Faire une figure lorsque n = 16 (on prendra R = 4 cm).

2. a. Prouver que, pour tout k > 0, MkMk+1 = 2R sin π

n .

b. On note Ln = M0M1 +M1M2 + ·· · +Mn−1Mn le périmètre du polygone régulier (M0, M1, · · · , Mn).

Déterminer la limite de Ln lorsque n tend vers +∞. Interpréter géomé- triquement le résultat ainsi obtenu.

EXERCICE 2 5 points

Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral ACB tel que (

−−→ AC ,

−−→ AB

)

ait

pour mesure π

3 .

On note ∆ la droite orthogonale à (AB) passant par C et I le point de ∆ tel que (

−−→ AC ,

−→ AI

)

ait pour mesure π

4 .

Enfin, on note s la similitude directe de centre A telle que s(C) = I et s′ la similitude directe de centre B telle que s′(I) = C.

1. a. Placer les points A, B, C et I sur la figure.

b. Prouver que r = s s′ est une rotation d’angle π

2 .

c. Déterminer le centre de cette rotation.

2. À tout point M du plan, distinct des points A, B et C, on associe le point N = s(M) et le point P tel que s′(P )=M .

a. Déterminer les angles (

−−→ AM ,

−−→ AN

)

et (

−−→ BP ,

−−→ BM

)

.

b. On note σ la similitude directe de centre A telle que σ(C) = M .

Comparer σs et s σ.

En déduire l’image de I par σ, puis déterminer l’angle (

−−→ MA ,

−−−→ MN

)

.

En déduire une construction géométrique de N.

Placer les points M et N sur la figure.

c. Construire demêmeP (onpourra utiliser la similitudedirecteσ′ de centre B telle que σ′(I) = P ).

3. Prouver que IP = IN et que (

−→ IP ,

−→ IN

)

a pour mesure π

2 .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

PROBLÈME 4 points

A

On se propose d’étudier la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= (x+1)e− 1 x si x > 0 et f (0)= 0.

On note C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère ortho-

normé (

O, −→ ı ,

−→

)

, (unité graphique : 4 cm.)

1. Variations de f

a. Calculer la dérivée f ′ de f sur [0 ; +∞[.

b. Déterminer la limite de (1+u)e−u lorsque u tend vers +∞. En déduire que f est dérivable en 0 et déterminer f ′(0).

c. Étudier le sens de variation de f .

d. Déterminer la limite de f (x) lorsque x tend vers +∞.

2. Étude d’une fonction auxiliaire

Soit ϕ la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :

ϕ(u)= 1− (1+u)e−u .

a. Calculer la dérivée de ϕ.

b. Prouver que, pour tout u> 0 :

06ϕ′(u)6 u.

c. En déduire que, pour tout u> 0

06ϕ(u)6 u2

2 (1)

3. Étude de f au voisinage de +∞

a. À l’aide de (1), établir que, pour tout x > 0 :

06 xf (x)6 1

2x .

b. En déduire que C admet une asymptote ∆ en +∞ ; préciser la position de C par rapport à ∆.

4. Étude de la tangente à C en un point

Soient x un élément de [0 ; +∞[ et Tx la tangente à C au point d’abscisse x.

a. Déterminer une équation cartésienne de Tx .

b. Montrer que Tx coupe l’axe des abscisses (

O ; −→ ı

)

au point d’abscisse x

1+ x+ x2 .

5. Construction de C

Construire C et ∆. On précisera les tangentes à C aux points d’abscisses 1, 13 et 3.

B

Métropole 2 septembre 1990

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :

g (x)= x

1+ x+ x2 .

On se propose d’étudier la suite (un )n>0 définie par la relation de récurrence un+1 = g (un ) et la condition initiale u0 = 1.

1. Convergence de (un )

a. Établir que, pour tout x> 0, g (x)6 x ; résoudre l’équation g (x)= x.

b. Prouver que la suite (un ) est décroissante.

c. Montrer que (un ) converge, puis que sa limite a est nulle.

2. Comportement asymptotique de (un )

a. Prouver que, pour tout entier n> 1, g

(

1

n

)

6 1

n+1 .

b. Étudier les variations de g sur [0 ; 1].

c. En déduire que, pour tout n> 1, un−1 6 1

n .

d. Pour tout entier p > 0, exprimer 1

up+1 −

1

up en fonction de up .

Établir que :

16 1

up+1 −

1

up 6 1+

1

p+1 .

En déduire que, pour tout n> 1 :

n6 1

un 6 n+1+

1

2 +

1

3 +·· ·+

1

n .

e. Pour tout entier p > 2, comparer 1

p et

p

p−1

1

t dt .

En déduire que, pour tout n> 2 :

1

2 +

1

3 +·· ·+

1

n 6 lnn.

f. Déterminer la limite de nun lorsque n tend vers +∞.

Métropole 3 septembre 1990

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